Hat jemand eine Idee wie man dieses unterbestimmte Gleichungssystem am besten so löst, dass alle Variablen in Abhängigkeit von a formuliert sind?

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Hallo,

Du kannst Gleichung I nach c auflösen und Gleichung III nach d:

c=2/a
d=6/b

Alles in Gleichung II einsetzen:

a*6/b+b*2/a=7

Alles mit b multiplizieren:

6a+b²*2/a=7b

Nun alles mit a/2 multiplizieren:

3a²+b²=b*7a/2

b²-3,5ab+3a²=0

Das ist eine quadratische Gleichung mit p=-3,5a und q=3a², die auf die übliche Art nach b aufgelöst werden kann, wobei a so gewählt werden muß, daß unter der Wurzel aus (p²/4-q) kein negativer Ausdruck entsteht.

Herzliche Grüße,

Willy

Recht herzlichen Dank für deine hilfreiche Antwort !

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@DepravedGirl

Keine Ursache.

Unter der Wurzel hast Du dann den Term 49/16*a²-3a²,
also (1/16) a².

Die Wurzel aus (1/16)a² ist (1/4)a.

Du bekommst also für b1 und b2:

(7/4)a+(1/4)a=2a und (7/4)a-(1/4)a=(3/2)a

Unter der Wurzel kann somit gar kein negativer Ausdruck entstehen, da (1/16)a² immer größer oder gleich Null ist.

Herzliche Grüße,

Willy

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Aus I) und III) folgt:

|a|,|b|,|c|,|d| > 0     (+)

("Ein Produkt wird 0 genau dann wenn einer der Faktoren 0 ist!")

Wir können also ohne Bedenken jeweils umstellen.

--> c = 2/a

--> b = 6/d

Multiplizieren wir II) mit c und d so erhalten wir:

acd² + bdc² = 7cd

--> 2d² + 6c² = 7cd

mit c = 2/a folgt dann:

2d² + 24/a² = 14d/a 


d² + 12/a² - 7d/a = 0

d(1|2) = (7/(2a)) +/- sqr(49/(4a²) - 12/a²) = (7/(2a)) +/- 1/(2|a|) = (7 +/- 1)/(2a)

Somit gilt also:

d(a) = (7 +/- 1)/(2a)      (Multifunktion)

c(a) = 2/a

b(a) = 6/d(a) = 12a/(7 +/- 1)       (Multifunktion)

mit |a| > 0   
(dadurch ist dann auch die Bed. (+) von oben für alle Variablen erfüllt)

Recht herzlichen Dank für deine hilfreiche Antwort !

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a * c = 2 |/a (a ≠ 0)
c = 2/a

a * d + b * 2/a = 7 |*a/2
b + a²d/2 = 7a/2 |-a²d/2
b = 7a/2 - a²d/2

b * d = 6 |/b
d = 6/b

b = 7a/2 - a² * 6/(2b) |*b
b² = 7ab/2 - 3a² |-7b + 6a²
b² - 7ab/2 + 3a² = 0 |pq-Formel
b = 7a/4 ± √(49a²/16 - 3a²)
b = 7a/4 ± √(1/16 a²)
b = 7a/4 ± a/4
b = 2a ∨ b = 3a/2

d = 6/2a ∨ d = 6 / (3a/2)
d = 3/a ∨ d = 4/a

Es gibt also die beiden folgenden Lösungspaare:
(a ≠ 0 ∧ b = 2a ∧ c = 2/a ∧ d = 3/a) ∨ (a ≠ 0 ∧ b = 3a/2 ∧ c = 2/a ∧ d = 4/a)

Und da alle Variablen die Form x * a, x,a ∈ ℝ\{0} besitzen, ist 0 für keine Variable möglich.

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