Hat einer eine Begründung, warum es bei Gleichungen des 5. Grades oftmals keine exakte Lösung gibt?

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3 Antworten

Ich vermute du meinst so etwas -->

a * x ^ 5 + b * x ^ 4 + c * x ^ 3 + d * x ^ 2 + e * x + f = 0



1.583161726115179 * x ^ 5 - 26.29287186611755 * x ^ 4 + 153.6619291602103 * x ^ 3 - 394.154305764363 * x ^ 2 + 450.519023805444 * x - 187.901816618368 = 0

Die Lösungen kann man mit einer hohen Genauigkeit finden.

Das hängt vom verwendeten Näherungsverfahren ab und von der Rechnergenauigkeit.

Was du wahrscheinlich meintest, war, dass man keine geschlossenen Formeln zur Lösung angeben kann.

https://de.wikipedia.org/wiki/Cardanische_Formeln

Zitat von dieser Webseite -->

Der Nachweis, dass es keine entsprechenden Formeln für Gleichungen fünften und höheren Grades geben kann, hat allerdings die Entwicklung der Algebra entscheidend beeinflusst (siehe Galoistheorie).

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Kommentar von Sarimarie
21.11.2015, 16:16

naja auf einer internet seite stand halt, dass es keine exakte Lösung dafür gibt. Ich glaube ich lasse das einfach weg :D 

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Du kannst einfach auf Wikipedia "Satz_von_Abel-Ruffini" verweisen.

"Der Satz von Abel-Ruffini besagt, dass eine allgemeine Polynomgleichung fünften oder höheren Grades nicht durch Radikale, d. h. Wurzelausdrücke, auflösbar ist."

Es geht nicht um Lösbarkeit (das geht numerisch immer beliebig genau! 

http://www.lamprechts.de/gerd/php/gleichung-6-grades.php

), sondern um die universelle explizite Wurzelschreibweise beliebiger Fälle ohne Sonderfall-Umstellungen.

Jeder kennt die pq-Formel für quadratische F. So etwas universelles gibt es bis Grad 4 (ab Grad 3 nur mit komplexen Zahlen PQRST-Formel !)

Ab Grad 5 benötigt man z.B. die Thetafunktion, die auch nur mit unendlichen Summen beliebig genau berechnet werden kann.

Und natürlich gibt es Spezialfälle, wo sich durch Substitution oder anderer Tricks was kürzen lässt -> siehe Wikipedias "Gleichung fünften Grades"

Punkt "Lösbare Gleichungen".

Was viele nicht wissen: auch Wurzeln werden (außer wenige Spezialfälle, wenn Argument eine Quadratzahl ist) auch numerisch (z.B. Iteration) berechnet, da irrationale Zahlen (z.B. jede Wurzel von Primzahlen) unendlich viele dezimale Nachkomma-Stellen  haben.

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Weil es nur Lösungsformeln für Gleichungen bis zum 4. Grad gibt. Man kann glaub ich sogar beweisen, dass es für höheren Grad keine Formel geben kann, das wäre aber nicht auf Schulniveau.

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Kommentar von Sarimarie
21.11.2015, 15:36

Okay, aber das muss ja irgendein Grund haben. Naja gut, trotzdem danke :) 

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