Hat ∞ * 0 bzw. 0 * ∞ unendlich viele Lösungen?

12 Antworten

Vom Fragesteller als hilfreich ausgezeichnet

Hey DepravedGirl,

1.) Wolfram Alpha sagt, dies sei gar nicht definiert, offenbar deshalb, weil ∞ keine Zahl ist, mit der man rechnen kann.


das ist das einzig Richtige.

0 ⋅ x = 0 für IR

Da ∞ aber keine reelle Zahl - genau genommen gar keine Zahl - ist, gilt diese Gleichung dafür nicht.

Unendlich ist ein Grenzwert, genauso wie 0+ und 0-, alles drei sind Werte, mit denen man nicht rechnen kann - rechnen kann man nur mit Zahlen.

∞ ⋅ 0 hat genauso viel Aussagekraft wie ∞ ⋅ Spülmaschine, nämlich gar keine. Mit Nicht-Zahlen kann man einfach nicht rechnen, das funktioniert schlichtweg nicht.

Was aber natürlich möglich wäre, wäre eine Grenzwertberechnung. Dabei berechnet man zwar nicht konkret ∞ ⋅ 0, aber nähert sich den Grenzwert ∞ in diesem Term an.

Für die Grenzwertbildung habe ich Dir hier eine kleine Erklärung erstellt:

http://mathb.in/153450

Stell Dir mal die Nullfunktion y = 0x vor.
Wenn Du immer weiter nach rechts gehst, wird der x-Wert immer größer. Aber erreichst Du irgendwann die Stelle x = ∞? Nein, tust Du nicht - die Werte werden zwar immer größer und größer, aber bis ∞ wirst Du niemals kommen.

Genauso wie Du Dich bei Polstellen unendlich weit an die Definitionslücke annähern kannst, diese aber nie erreichst. Genauso ist es mit Unendlich.

LG Willibergi

Erklärung - (Mathe, Mathematik, unendlich)
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Vielen Dank für den Stern.

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∞ ist keine konkrete Zahl, sondern symbolisiert, wenn überhaupt, eine sehr große Zahl. Somit ist ein Rechnen damit auch nicht möglich.

Solche "Konstrukte" wie 0 * ∞ kommen eher bei der Grenzwertbestimmung vor. Das bedeutet dann allerdings nicht, dass der Grenzwert Null ist, nur weil ein Faktor der untersuchten Funktion gegen Null läuft und der andere ins Unendliche. (Kennst ja die Regel von l'Hospital)

einfaches Beispiel: f(x)= 10/x * (x+1)
hier ergibt sich bei der Grenzwertbetrachtung als "Zwischenlösung" für x->∞ erst einmal: lim 0 * ∞
fügst Du die Faktoren der Funktion zu einem Bruch zusammen und leitest 10(x+1) im Zähler und x im Nenner ab, so kommt als Grenzwert 10 raus für x->∞.

Kommt also mal bei der Grenzwertbetrachtung 0 * ∞ raus, dann kann das, ohne die Funktion zu kennen, tatsächlich theoretisch jeder beliebige Grenzwert sein. Bei der genaueren Betrachtung ist es dann natürlich nur ein konkreter Wert oder eben Unendlich.

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Recht herzlichen Dank für deine Antwort !

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Du musst unterscheiden:

∞ * 0  als solches ist nicht definiert

Als Grenzwert jedoch kann alles rauskommen (wobei das nicht heißt, dass eine Betrachtung unendlich viele Lösungen hat)

Beispiel:

n * 1/n  für n-> 0 ist formal 0 * ∞

man sieht aber schnell, dass man den Term kürzen kann: n * 1/n = 1

Das bedeutet, dass hier auch der Grenzwert des Terms für n gegen Null gegen 1 geht!

Hast du als Term etwa 3*n * 1/n so hast du immer noch 0 * ∞, aber nun ist der Grenzwert 3.

So trivial ist das finden der Grenzwerte nicht immer, aber es soll zeigen, dass 0 * ∞ als Grenzwert JEDEN Wert annehmen kann (welcher das ist, muss man eben herausfinden), aber ein Ausdruck hat als Grenzwert nicht unendlich viele Lösungen.

(es ist ähnlich wie mit Unbekannten: x kann jeden Wert annehmen, als Lösung einer Gleichung sind es aber meist wenige diskrete Werte)

42

Recht herzlichen Dank für deine Antwort !

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