harmonische Schwingungen - Herleitung der Formel

...komplette Frage anzeigen

1 Antwort

alsoooooooo in welcher klasse bist du denn? denn die formel herzuleiten ist garnichmal so einfach! :) in der schule hatten wir das aber folgendermaßen:

Du weisst aus dem Trägheitsgesetz von Newton, dass gilt: F=ma, und a ist die zweite Ableitung des Wegs x nach der Zeit, also x''. Nun weisst du noch, dass bei einer Feder das hookesche Gesetz gilt: F=-Dx. Das beschreibt deine Rückstellkraft, welche immer in die entgegengesetzte richtung der Auslenkung zeigt (Darum das minus, das minus ist wichtig!!!). Solche Kräfte findet man überall in der Physik, z.B auch bei elektrischen Dipolen, wo die Rückstellkraft auch proportional zur Auslennkung ist. Setzt du die beiden Kräfte gleich, erhälst du die alles sagende Differenzialgleichung:

mx'' = -Dx

Diese nun zu lösen, erfordet besonderen mathematischen Mitteln, die du nicht wissen willst, da es seeeeeeeehr weit in den Unistoff zum Thema gewöhnlicher Differenzialgleichungen hineingeht! Wendest du nun alle dummen und unnötig komlizierten mathematischen Medthoden an, um diese Differenzialgleichung zu lösen, erhälst du einen Ansatz mit einer Exponentialfunktion. Ein Mathematiker würde sagen, dass deine Lösung eine Linearkombination aus e-Funktionen ist, die die Form x(t)=ae^(kt) hat, mit t als zeit. Nun leite diesen ausdruck zur übung 2 mal ab und setze ihn in die Dgl ein:)

Du erhälst: mak^2=-D*a , wenn du den e-term kürzt. Daraus folgt: k^2=-m/D

Soooo, jetzt musst du also aus einer negativen Zahl ne Wurzel ziehen^^ Was bekanntlich in der Schule nicht geht:P Im ersten Semester im Physikstudium geht das aber jetzt wohl! Man weiß nun, dass nämlich k eine Komplexe Zahl ist! Mit ein bisschen knowhow über die Zahlen erhält man:

k=i*wurzel(m/D)

und wurzel m/D ist bekanntlich die Kreisfrequenz w;) So da nun k komplex ist, erhalten wir folglich eine e funktion mit komplexer Hochzahl!! Also so etwas wie ae^(ikt). Nun.... jetzt kommt wieder unistoff hinein, denn man kann das umformen in acos(kt) + i a*sin(kt).

Also ist die Lösung unserer Differentialgleichung ein system von cosinusen und sinusen!!! Wir wählen nun die einfachste Form der Lösung;) nämlich ein konsinus: Der neue ansatz wäre dann ohne komlpexe zahlen: x(t)=a*cos(wt)

Und wenn du diesen ansatz in die Dgl einsetzt, dann siehst du dass es passt^^. Natürlich können wir im cosinusterm noch dein "q" hinzufügen, weil das die lösung der dgl nicht stört:) aber ich hatte jetzt keine lust, das bei der Herleiung mitzuschleppen^^

so und dann haben wir das locker flockig hergeleitet. also in der schule brauchst du wirklich nicht wissen, woher das kommt!! da reicht es, einen Ansatz der Lösung von einer Dgl zu kennen, wobei du dir die Dgl ruhig merken kannst:) Ich hoffe, ich hab dich nicht überfordert!:)

MFG mogggiiiidummm

lalala01237 01.12.2013, 16:44

Vielen Dank für die Mühe!! Ich glaub ich habs verstanden :) Und ich bin im 7. Gymnasium, also komplexe Zahlen und das alles kenn ich Gott sei Dank schon ;)

Danke nochmal & lg.

0

Was möchtest Du wissen?