Hallo, kann mir jemand bei der Aufgabe helfen Den Induktionsanfang und die Induktionsannahme habe ich bereits Aber der Induktionsschritt fehlt mir noch?

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2 Antworten

a1 = 1
a2 = 1
a3 = 2

Für n=2 ist die Behauptung richtig. Nun der Induktionsschritt, für (n+1) ergibt sich:

a(n+2) * a(n) - a(n+1)^2 =
[a(n+1) + a(n)] * a(n) - a(n+1)^2 =
a(n+1) * a(n) + a(n)^2 - a(n+1)^2 =
a(n)^2 + a(n+1) * [ a(n) - a(n+1) ] =
a(n)^2 + a(n+1) * [ a(n) - [ a(n) + a(n-1) ]] =
a(n)^2 + a(n+1) * [ -a(n-1) ] =
a(n)^2 - a(n+1) * a(n-1) =
(-1) * [ a(n+1) * a(n-1) - a(n)^2 ]

Jetzt kommt die Induktionsvoraussetzung ins Spiel, denn in der Klammer steht der Ausdruck für n:

(−1)∗(−1)^(n+1) = (−1)^(n+2)

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Die Induktionsvoraussetzung:

a(n)^2 = a(n-1)a(n+1)+(-1)^(n-1)

kann man umformen zu

a(n+1)a(n-1) = a(n)^2 - (-1)^(n-1)

Dann erhält man:

a(n+1)^2 = a(n+1)a(n+1)
         = a(n+1)[a(n)+a(n-1)]
         = a(n+1)a(n) + a(n+1)a(n-1)       | IV
         = a(n+1)a(n) + a(n)^2 - (-1)^(n-1)
         = a(n)[a(n+1)+ a(n)]  + (-1)^n
         = a(n)a(n+2) + (-1)^n
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