Hallo! Wie lautet das Bildungsgesetz dieser Zahlenreihe bzw. -folge?

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5 Antworten

hhhhhh

Hallo WeicheBirne,

danke für Deine Antwort.

Aber stimmt sie?

Für a_1 und a_2: Ja!

Für a_3: a_3 = 50 + 24 + (3 - 1) * 2 = 78; es müsste aber 80 sein!

So ist es dann auch für alle folgenden.

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@schmidtmechau

Hast Recht, ist mir im letzten Augenblick auch noch aufgefallen. :(

Darum hab ich's noch schnell gelöscht.

Das hier sollte stimmen

a_n = a_(n-1) + 24 + n^2 - n

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@WeicheBirne

Schnell noch die Herleitung

wenn Du von den Intervallen zwischen den Zahlen der Folge 24 abziehst kriegst Du

0 2 6 12 20 30 ...

Das ist eine Folge die durch

a_n = Summe von i = 1 bis n  2*(n-1) 

       = 2 * Summe von i = 1 bis n   (n-1)

beschrieben wird, wobei die Folge mit n = 1 beginnt.

Die Summe ist eine arithmetische Reihe

Summe von i = 1 bis n   (n-1) =  n*(n-1)/2

Also

a_n = 2 * n*(n-1)/2 = n^2 - n

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@WeicheBirne

Hallo WeicheBirne,

Deine Formel stimmt immer noch nicht, aber jetzt bin ich auf die richtige gekommen:

a_n = a_(n-1) + 24 + (n-1)^2 - (n-1)

Dein Denkansatz war richtig! Vielen Dank.

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@schmidtmechau

Hm, da blick ich gerade nicht durch

also nach Deiner Formel

a_0 = 0

a_1 = 0 + 24 + 0 - 0 = 24

a_2 = 24 +24 + 1 - 1 = 48

Wenn Du meinen Vorschlag nimmst

a_0 = 0

a_1 = 0 + 24 + 1 - 1 = 24

a_2 = 24 + 24 + 4 - 2 = 50

a_3 = 50 + 24 + 9 - 3 = 80

a_4 = 80 +24 +16 -4 = 116 

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@WeicheBirne

Du hast recht. Das war jetzt nur eine Frage der Nummerierung. Ich habe angefangen:

a_1 = 0, da die 0 das erste Glied der Folge ist.

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Ich würde den Ansatz über die Intervalle nehmen:

(1) Intervalle der Intervalle "Z"

2 4 6 8 10 ...

Z(m) = sum{1 bis m} 2 = 2m

(2) Intervalle "Y"

24 50 80 116 160 214 280 360 ...

Indexänderung: m = n-1

Y(n) = 24 + sum{0 bis n} (Z(n-1))
= 24 + sum (2(n-1))
= 24 + sum (2n-2)
= 24 + 2*sum (n) - sum (2)
= 24 + 2*(n+1)*n/2 - 2n
= 24 + n^2 + n - 2n
= 24 + n^2 - n

(3) Bildungsformel "X"

X(n) = sum{0 bis n} (Y(n))
= sum (24 + n^2 - n)
= sum (24) + sum (n^2) - sum (n)
= 24n + 1/6*(n*(n+1)*(2n+1)) - (n+1)*n/2
= ...
= 1/3 * n^3 + 71/3 * n

Erscheint mir als ein logischer, nachvollziehbarer Weg und die kürzeste Bildungsformel.

Klappt mit Ellejolkas Verfahren:

1/3 (x^3 - 3 x^2 +74 x - 72)

Gib mal bei wolframalpha.com ein. Er schlägt vor

a_n = 1/3 (n-1) (n^2-2 n+72)







Hallo Schachpapa,

vielen Dank für Deine Antwort.

Gruß Friedemann

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und im 3. Schritt ; Intervall immer 2 ;

also kannst du probieren, ob es mit einer Funktion 3. Grades klappt;

y=ax³+bx²+cx+d

jetzt setzt du 4 Punkte ein und löst das Gleichungssystem,

P1 (1;0)

P2 (2;24)

P3 (3;50)

P4 (4;80)

an = 1/3 n³ - n² + (74/3) n - 24

so ist das Bildungsgesetz.

Hallo Ellejolka,
vielen Dank für Deine Lösung. Ich habe frage mich, ob diese doch relativ komplizierte Formel in die einfachere von WeicheBirne zu überführen ist.

Gruß Friedemann

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@schmidtmechau

mein Bildungsgesetz ist ja explizit; das kann man in rekursive umwandeln,

aber bei rekursiv darf mE nur a(n-1) auftauchen; eure ist ja gemixt.

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