Hallo, wie kann ich die Stammfunktion von f(x)= (2x-1)^3 berechnen?

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3 Antworten

Kettenregel y=F(x)= S f(Z) * dz/ z´

also z=2*x-1 abgeleitet dz/dx= 2 

y´= z^3 eregibt y= S z *dz ergibt y= 1/4 * z^4 * 1/2 = 1/8 * (2 *x-1)^4

Hinweis :Die Kettenregel funktioniert nur wenn dz/dx= konstant ist oder sich das verbleibende x herauskürzt !!

Eine Konstante (hier 1/2) kann vor das Integral (S) gezogen werden..

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G(x) ist auch eine Stammfunktion von f(x). Der Satz auf deinem Arbeitsblatt sagt aus, dass es mehrere Stammfunktionen gibt, die sich nur durch einen beliebigen konstanten Summanden c unterscheiden.

z.B. f(x) = 3x²
Dann wäre F(x) = x³ ein Stammfunktion, da F'(x) = 3x² = f(x).
Aber auch G(x) = x³ + 4 ist eine Stammfunktion, da G'(x) = 3x² = f(x).

Und wenn man G(x) mit F(x) vergleicht stellt man fest, dass gilt G(x) = F(x) + 4, also G(x) = F(x) + c (hier mit c = 4).

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Chester96 08.11.2015, 20:22

Irgendwie verstehe ich nicht, wie du auf G(x) = x^3 + 4 kommst. Wie kommst du auf 4?

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Myrine 08.11.2015, 20:23
@Chester96

Ist doch bloß ein Beispiel, statt 4 könntest du wie gesagt auch jede beliebige andere Konstante nehmen.

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Myrine 08.11.2015, 20:22

Ach, und eine Stammfunktion zu f(x) = (2x-1)^3 ist F(x) = (2x-1)^4 / 8.

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f(x)= (2x - 1)³  hat die Stammfunktion F(x) = ¼ (2x - 1)⁴  und folglich auch die Stammfunktion G(x) = ¼ (2x - 1)⁴ + 17 oder ¼ (2x - 1)⁴  -  413 oder allgemein
¼ (2x - 1)⁴ + C  bzw. F(x) + C

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Chester96 08.11.2015, 20:20

Danke für deine Antwort. Wie kommst du denn auf 17 oder -413?

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stekum 08.11.2015, 20:31
@Chester96

Du kannst auch irgendeine andere Fantasie-Zahl einsetzen. Wenn Du die Probe machst durch ableiten, fällt sie eh weg.

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Myrine 08.11.2015, 20:28

F(x) = 1/8 (2x - 1)^4
⇒ F'(x) = f(x) = (2x - 1)^3

Beim Ableiten darfst du die Kettenregel nicht vergessen (innere mal äußere Ableitung).

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Chester96 08.11.2015, 20:41
@Myrine

Eine Klassenkameradin von mir hat diese Aufgabe so gerechnet: f(x)= (2x-1)^3 = (2x-1)(4x^2 -4x+1)

= 8x^3 -8x^2 + 2x - 4x^2 + 4x -1

= 8x^3 - 12x^2 + 6x -1

F(x) = 2x^4 -4x^3 +3x^2 -x

Verstehst du, was sie gemacht hat?

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Myrine 08.11.2015, 22:52
@Chester96

Klar, sie hat die Klammer aufgelöst, damit das Aufleiten einfacher wird.

   (2x-1)^3
= (2x-1)(2x-1)^2                              2. binomische Formel
= (2x-1)(4x^2 -4x +1)                      Klammern ausmultiplizieren
= 8x^3 -8x^2 + 2x -4x^2 + 4x -1      Summanden zusammenfassen= 8x^3 -12x^2 +6x -1

Für Potenzen gibt es ne recht einfache Regel für's Aufleiten:
f(x) = x^n   ⇒   F(x) = 1/(n+1) · x^(n+1)

f(x) = 8x^3 -12x^2 +6x -1
F(x) = 2x^4 -4x^3 +3x^2 -x

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stekum 08.11.2015, 20:30

Danke, ist mir auch gerade eingefallen. Aber ich hatte es so eilig, den Anfang vom James Bond nicht zu verpassen.

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