Hallo, wie berechnet man den größtmöglichen Definitionsbereich und die Umkehrfunktion von f(x)= Wurzel(ln(3x-1))?

6 Antworten

Du musst natürlich die richtigen Gleichungen für die gebrauchten Funktionen bereits vorher kennen, dann kannst du einfach die Verschachtelung der Funktionen in die Ungleichungen einsetzen:

Wurzel(y) ist definiert, wenn y >= 0, y ist jetzt aber ln(z) [z im Sinne von ln von irgendwas], also ln(z) >= 0, aber ln(z) >= 0 genau dann wenn z >= 1, z ist jetzt aber genau 3x-1, also gilt 3x-1 >= 1 --> 3x >= 2 --> x >= 2/3.

Also ist dein Definitionsbereich der Bereich D = [2/3,oo].

LG

Ok verstanden :-) vielen Dank

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Zum Definitionsbereich hat Roach5 schon alles nötige gesagt.

(HIer geht Roach5 von der äußersten Funktion nach innen vor, wie ich bei der Umkehrfunktion im folgenden.)

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Zur Umkehrfunktion: Da geht man von außen nach innen vor.

Für f(x) nehmen wir eine neue Variable; hier bietet sich y an.

Damit wird aus der Funktionsgleichung

y = √(ln(3x-1))

Da die Umkehrfunktion zu einem gegebenen y das zugehörige x liefert, müssen wir diese Gleichung nach x auflösen.

Die äußerste Funktion auf der rechten Seite ist die Wurzel.

Die Umkehrfunktion der Wurzel ist das Quadrat.

Damit erhalten wir:

y^2 = (√(ln(3x-1)))^2

(√(a))^2 = a für alle a (für die √(a) definiert ist) - wir brauchen keine weitere Einschränkung, da das Quadrat immer definiert ist (bei einer Wurzel müssten wir nachher die Probe machen)

Also

y^2 = ln(3x-1)

Die Umkehrfunktion zu ln ist exp bzw. a -> e^a. Die Exponentialfunktion ist wieder für alle Zahlen definiert, also auch hier kein Problem. Wir erhalten:

e^(y^2) = 3 x - 1 = (3 x) - 1

Die äußerste Funktion ist hier das Abziehen von 1. Die Umkehrfunktion ist das Hinzuzählen von 1. Damit erhalten wir:

e^(y^2) + 1 = 3 x

Verdreifachung; Umkehrfunktion: 1/3 *

(e^(y^2) + 1) / 3 = x

Jetzt können wir für x die Umkehrfunktion von f angewendet auf y einsetzen. Nennen wir die Umkehrfunktion von f "g", dann wird (inkl. Umdrehen der Gleichung):

g(y) = (e^(y^2) + 1) / 3

Die zugehörige Antwort ist demnach:

Die Umkehrfunktion von f(x) mit

f(x) = √(ln(3x-1))

ist g(y) mit

g(y) = (e^(y^2) + 1) / 3

Das mit g(y) hättest du dir sparen können! Wenn du die Umkehrfunktion x(y) hast, dann kannst du einfach x und y vertauschen und du hast wieder eine funktion y(x). Da es aber nicht mit deinem f(x) (was ja auch y(x) ist) verwechselt werden kann, schreibt man immer f^-1(x) für die Umkehrfunktion.

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@JTR666

In einer - je nach Schule ein wenig bis allzu laxen - Redeweise, ja.

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Ok, brauchte erstmal ein bissl. Aber jetzt weiß ich wie es geht....Daaanke

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@JTR666: Selbstverständlich gibt es einen grösst möglichen Definitionsbereich. Man kann auch einen kleineren Bereich nehmen und feststellen, dass eine Funktion auf dem gesamten Bereich definiert ist, allerdings ist dies noch nicht der ganze und kann noch vergrössert werden.

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