Hallo, was ist die Stammfunktion von f(x)= (sin(x))^3 und von tan(x)? Und wie kommt das Ergebnis zustande?

4 Antworten

Seien folgende Funktionen gegeben:

f(x) = (sin(x))^3  , x aus IR

g(x) = tan(x) , x aus (-pi/2, pi/2)

es gilt nun die Stammfunktion von f und g, F und G, zu bestimmen.

1)

Wir nutzen zunächst die Identität des Pythagoras:

1 = sin²(x) + cos²(x)

Damit folgt:

sin³(x) = sin(x)(1 - cos²(x)) = sin(x) + (-sin(x))*cos²(x)

es fällt auf:  (cos(x))´ = - sin(x)  und  (cos³(x))´ = 3*(-sin(x))*cos²(x)

Ein vergleich liefert:

sin³(x) = - (cos(x))´ + (1/3)*(cos³(x))´

Nun folgt dann mit dem 1.Hauptsatz der Integral- und Differentialrechnung:

Int{ sin³(x) dx } = Int{ -(cos(x))´ + (1/3)*(cos³(x))´ dx }

--> F(x) = - cos(x) + (1/3)*cos³(x) + const.


2)

Wir nutzen die trigonometrischen Funktion zur Darstellung des Tangens:

tan(x) = sin(x)/cos(x)

Es fällt auf:  (-cos(x))´ = sin(x)

---> tan(x) = - (cos(x))´/cos(x)

Wir wissen, dass gilt:   (ln(|f(x)|))´ = (|f(x)|)´ * 1/|f(x)| 

und mit:  (|f(x)|)´ = f(x)/|f(x)| * f´(x)    ; folgt dann:


(ln(|f(x)|))´ = f´(x)/f(x)    mit  f(x)/f´(x) =: sgn(f(x))

Damit folgt dann mittels Integration:

Int{ tan(x) dx } = Int{ - (cos(x))´/cos(x) dx } = ln(|cos(x)|) + C(i)

mit C(i) konstant aus IR und möglicherweise sogar verschieden auf den einzelnen Stetigkeitsintervallen i.

Hallo,

ergänzend zur Antwort von poseidon zur Stammfunktion von f(x)=sin³(x):

Durch die Aufteilung in das Produkt f(x)=sin(x)*sin²(x) und der Ersetzung von sin²(x) durch das identische 1-cos²(x) kommst Du auf
sin (x)*[1-cos²(x)]=sin(x)-cos²(x)*sin(x)

Da Du es nun mit einer Differenz zu tun hast, darfst Du einzeln integrieren.

Die Stammfunktion zu f(x)=sin(x) ist natürlich F(x)=-cos(x)+c, während der Term -cos²(x)*sin(x) =cos²(x)*(-sin(x)) die Besonderheit hat, daß Du es mit einem Produkt aus der Potenz einer Funktion und ihrer Ableitung zu tun hast, denn -sin(x) ist die Ableitung von cos(x)

Allgemein hast Du es hier mit folgendem Fall zu tun:

[f(x)]^n*f'(x)

Substituierst Du f(x) durch z, ist dz/dx=f'(x) und damit dx=dz/f'(x)

Du gleichst die Substitution also dadurch aus, daß Du das Ganze durch die Ableitung teilst, die sich somit wegkürzt: [1/f'(x)]*z^n*f(x)=z^n

Das aber kannst Du ganz einfach nach der Potenzregel integrieren:

f(z)=z^n; F(z)=[1/(n+1)]*z^(n+1)+C

Rücksubstitution ergibt dann F(x)=[1/(n+1)]*[f(x)]^(n+1)

Aus diesem Grund ist die Stammfunktion zu f(x)= cos²(x)*(-sin(x)):

F(x)=(1/3)*cos³(x)+C

So kommst Du insgesamt auf (1/3)*cos³(x)-cos(x)+C

Merke also: Stammfunktion zu [f(x)]^n*f'(x)=[1/n+1)]*[f(x)]^(n+1)

Stammfunktion zu f'(x)/f(x) ist ln|f(x)|+C

Dieses Wissen kann Dir sehr nützlich sein bei bestimmten Integralen.

Bei Integralen von trigonometrischen Funktionen mußt Du Dir unbedingt die Identität sin²(x)+cos²(x)=1 merken.

Auch die Additionstheoreme können Dir bei diesem Thema seht nützlich sein. Du solltest sie kennen.

Herzliche Grüße,

Willy

siehe Mathe-Formelbuch Integrationsregeln,"Grundintegrale"

Integral tan(x)*dx=-1*ln(cos(x) +C mit x ungleich (2*k+1)*pi/2 mit k=0,1,2,3..

Aus den Mathe-Formelbuch Kapitel "besondere Integrale"

Integral(sin^n(c*x)*dx=sin^(n-1)(c*x)*cos(c*x)/(c*n)+(n-1)/n*Int.(sin^(n-2)(c*x)*dx

mit c=1 und n=3

Int(sin^3(x)*dx=sin^2(x)*cos(x)*1/3+2/3*Int.(sin(x)*dx)

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