Hallo, kann jemand die h-Methode (11.Klasse) in Mathe erklären, ich meine, mit Beispielen, so, daß es wirklich jeder (Idiot) verstehen würde?

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2 Antworten

Hallo,

bei der h-Methode geht es darum, die Steigung an einem bestimmten Punkt einer Kurve zu ermitteln.

Bei einer Geraden ist das kein Problem, weil die überall die gleiche Steigung hat. Bekanntlich ist die Steigung der Tangens des Winkels, den eine Gerade in einem Koordinatensystem mit der x-Achse bildet.

Da der Tangens das Verhältnis von Gegenkathete zu Ankathete ist, berechnet man die Steigung einer Geraden, in dem man zwei beliebige Punkte auf der Geraden ermittelt und die Differenz der y-Koordinaten der beiden Punkte durch die Differenz der x-Koordinaten teilt. Deshalb nennt man die Steigung einer Geraden auch Differenzenquotient.

Beispiel:

Zwei Punkte auf der Geraden y=2x+1 sind z.B. (1|3) und (3|7), denn 2*1+1=3 und 2*3+1=7

Die Steigung ist demnach (7-3)/(3-1)=4/2=2 (Bei einer Geraden entspricht die Steigung übrigens immer der Zahl vor dem x).

Wenn Du jetzt aber eine Kurve hast wie y=2x²+x-1, kannst Du diese Methode nicht so einfach anwenden, weil sich die Steigung dieser Kurve ständig ändert.

Wenn Du also zwei Punkte auswählst und den Differenzenquotienten bildest, bekommst Du nicht die Steigung der Kurve heraus, sondern die Steigung der Geraden, die diese beiden Punkte verbindet, also eine Art Durchschnittssteigung.

Beispiel: Wir setzen x=0 und x=1 und berechnen die Funktionswerte:

f(0)=-1, denn 2*0²+0-1=-1 und f(1)=2, denn 2*1²+1-1=2.

Wir haben also die beiden Punkte (0|-1) und (1|2).

Die Steigung der Geraden (Sekante), die diese beiden Punkte verbindet,
ist (2-(-1))/(1-0)=3/1=3

Diese Steigung entspricht aber weder der Steigung der Funktion bei x=0 noch der bei x=1, sondern ist so eine Art Durchschnittswert.

Was machen wir, wenn wir die Steigung der Funktion bei x=0 ermitteln wollen?

Zumindest könnten wir uns dem genauen Wert annähern, wenn wir einfach näher an den Punkt x=0 heranrücken und als zweiten Punkt nicht x=1 wählen, sondern etwa x=1/4

Dann bekommen wir zum bekannten Punkt (0|-1) den Punkt (1/4|-5/8), denn 
2*(1/4)²+1/4-1=1/8+2/8-8/8=-5/8

Wenn wir jetzt als zweiten Punkt einen Punkt wählen, der x=0 unendlich nahe kommt, wird aus der Sekante, die beide Punkte verbindet, eine Tangente, denn beide Punkte sind sozusagen zu einem einzigen Punkt verschmolzen.

Die Steigung der Tangente aber an dem Punkt (0|f(0)) (oder an einem beliebigen Punkt des Funktionsgraphen) entspricht genau der Steigung des Funktionsgraphen an der gewählten Stelle.

Hier kommt die h-Methode ins Spiel. h ist eine Zahl, die immer kleiner wird, bis sie schließlich unendlich nah an der Null ist bzw. gleich Null wird.

Wir bilden also, um die Steigung der Funktion bei x=0 zu berechnen, den Funktionswert von 0+h und lassen h gegen Null gehen. So nähern wir uns x=0 immer mehr an, bis wir unendlich nah dran sind und x=0 sozusagen erreicht haben.

f(0+h)=2*(0+h)²+(0+h)-1=2h²+h-1

Der Differenzenquotient lautet nun [f(0+h)-f(0)]/(0+h-0)=[f(0+h)-f(0)]/h

Wenn h gegen Null geht, wird aus dem Differenzenquotienten der Differentialquotient, der dann die Steigung an einem Punkt der Kurve angibt.

f(0)=-1

f(0+h)=2h²+h-1

Also: (2h²+h-1-(-1)]/h=(2h²+h-1+1)/h=(2h²+h)/h

So, wie die Gleichung ist, darf h natürlich noch nicht Null werden, da Du nicht durch Null teilen darfst. 

Wenn Du aber ein h im Nenner ausklammerst, kannst Du kürzen:

[h*(2h+1)]/h=2h+1

Jetzt ist es kein Problem mehr, h gegen Null gehen zu lassen, weil h jetzt nicht mehr im Nenner steht. Wenn h gegen Null geht, geht 2h+1 gegen 1.

Damit ist die Steigung der Tangente an den Punkt (0|-1) bestimmt und damit auch die Steigung der Funktion bei x=0.

Herzliche Grüße,

Willy

Wie meinst du einen Zusätzlichen Punkt?

Im Allgemeinen nimmst du dir einfach zwei Punkte auf deiner Funktion, zeichnest durch diese die Sekante und berechnest die Steigung dieser Gerade.

Zumindest kenne ich die "h-Methode" so.

Oder kann es sein, dass du dich hier bereits auf die Berechnung des Differentialquotienten beziehst:

lim h-> 0 von (f(x+h)-f(x))/h ?

In dem Fall gibt es hier gar keine Punkte mehr auf der Funktion sondern nur noch einen einzigen Punkt und die Sekante wird zur Tangente an die Funktion.

JTR666 23.01.2017, 09:09

Doch, es gibt immer noch zwei Punkte, nur liegen diese eben unendlich nahe beieinander.
Wäre es ein einziger Punkt, wäre h = 0, und du hättest durch 0 geteilt.

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PeterKremsner 23.01.2017, 09:20
@JTR666

Ja im Physikalischen Sinne ists eben nur noch ein Mathematisch bleiben es natürlich 2 das stimmt.

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JTR666 23.01.2017, 09:24
@PeterKremsner

In der Physik gibt es kein unendlich klein.
Das kleinste ist die  Plancklänge. ;) 

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PeterKremsner 23.01.2017, 09:27
@JTR666

In der Physik gibt es kein unendlich klein.

Ja eben darum werden diese zwei Punkte im physikalischen Sinne auch ein einziger Punkt sofern der Abstand dieser unter die Auflösung des Messgeräts fällt und die Punkte nur noch als ein einziger erkannt werden.

Natürlich lässt sich streiten ob ein Mathematischer Punkt physikalisch überhaupt existiert, was er nicht tut, hier gehts mehr um die Veranschaulichung.

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JTR666 23.01.2017, 12:03
@PeterKremsner

Nein, es sind immer noch zwei Punkte, die eine maximale Nähe von einem Planck haben.
Näher kannst du die beiden Punkte nicht zusammenschieben

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PeterKremsner 23.01.2017, 15:13
@JTR666

Hier geht es doch nicht darum ob Physikalisch überhaupt möglich oder nicht, sondern um eine Veranschaulichung des Übergangs vom Differenten zum Differentialquotienten....

Nimm zwei hypothetische Punkte und bring sie auf eine unendliche Distanz nahe zueinander, diese Punkten werden dann für jeden Beobachter (trotz beliebiger endlicher Vergrößerung) als ein und der selbe Punkt erscheinen und das ist der veranschaulichte Übergang von Sekante welche die Funktion in mehreren Punkten schneidet, zur Tagente, welche die Funktion eben nur in einem (beobachtbaren) Punkt schneidet.

Bezogen auf die Fragestellung hier, ist diese Diskussion an sich schon mehr als ein wenig Off-Topic ;)


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