Hallo Ich brauche Hilfe bei dieser Aufgabe Danke im Voraus?

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4 Antworten

Hallo,

das Minimum kann nur zwischen x=-2 und x=2 liegen.

Weil die Parabel symmetrisch zur y-Achse ist, genügt es, den Bereich zwischen x=0 und x=2, der positiven Nullstelle zu betrachten.

Der Mindestabstand zum Ursprung muß auf jeden Fall kleiner oder gleich 2 sein, weil der Abstand bei x=2, der positiven Nullstelle, bei 2 Einheiten liegt.

Wenn Du vom Koordinatenursprung bis zu irgendeinem x kleiner oder gleich 2 eine Linie ziehst und von dort aus eine Senkrechte nach oben, die den Funktionsgraphen schneidet, bekommst Du zwei Katheten eines rechtwinkligen Dreiecks, dessen Hypotenuse gleich dem Abstand dieses Schnittpunktes zum Ursprung ist. Diese Hypotenuse kannst Du nach dem Satz des Pythagoras berechnen. Wenn die eine Kathete die Länge x0 hat, hat die andere
die Länge -x0²+4 entsprechend f(x0).

Es gilt also: Abstand eines bestimmten Punktes (x0|f(x0)) zum Ursprung ist gleich der Wurzel aus (x0²+f(x0)²).

Du bildest die Abstandsgleichung A(x)=√(x²+(-x²+4)²)=√(x²+x^4-8x²+16)=

√(x^4-7x²+16)

Das Minimum dieser Funktion liegt an der Stelle für x, an der f(x) den geringsten Abstand zum Ursprung besitzt.

Das heißt: A'(x) bilden und auf Null setzen.

Gefundenen Wert für x in f(x) einsetzen für die y-Koordinate, notfalls anhand von A''(x) überprüfen, ob tatsächlich ein Minimum vorliegt.

Den Abstand bekommst Du, wenn Du den gefundenen Wert für x in A(x) einsetzt.

A'(x) wird auch Null bei x=0. Das ist dann natürlich nicht das Minimum, weil der Abstand auf jeden Fall bis auf mindestens 2 Einheiten schrumpft.

Herzliche Grüße,

Willy

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Der kleinste Abstand ergibt sich über die Normeln,die durch den Punkt P(0/0) und die parabel schneidet.

siehe Mathe-Formelbuch Kapitel "Differentialgeometrie"

Normalengleichung yn=fn(x)=-1/f´(xo)*(x-xo)+f(xo)

f(x)=-x²+4 abgeleitet f´(x)=-2*x eingesetzt

fn(x)=-1/(-2*xo)*(x-xo)-xo^2+4 die Gerade soll durch den Punkt x=0 und y=0 gehen

0=1/(2*xo)*(0-xo)-xo^2+4=-1/(2*xo)*xo-xo^2+4=-xo^2+3,5

ergibt xo=Wurzel(3,5) ergibt xo1=1,87.. und xo2=-1,87...

Geradengleichung mit xo=1,87..

fn(x)=-1/(-2*1,87)*(x-1,87)-1,87^2+4=0,26737*x

fn(x)=f(x)  Schnittpunkt bei fn(1,87)=0,26737*1,87..=0,5

Pythagoras anwenden c=Wurzel(a^2+b^2)

hier c=Wurzel(1,87^2+0,5^2)=1,935 kleinster Abstand

2.te Normalengleichung mit xo=-1,87

fn(x)=-1/(-2*-1,87)*(x-(-1,87)-(-1,87)^2+4 =-0,26737

Abstandsberechnung ,wie mit xo=1,87..

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P(a ; -a² + 4)

Abstandsformel

d = wurzel [(a-0)² + (-a²+4-0)²]

d= wurzel (a^4 - 7a² + 16)

d(minimum) berechnen; die wurzel kannst du weglassen;

d ' = 4a³ - 14a = 0

→ a=wurzel(3,5)

usw

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Ich muss noch was korrigieren die f(x) laute -x^2+4

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rumar 19.06.2017, 16:25

1.)  Zeichnung erstellen !

2.)  Symmetrie beachten !

3.)  Wahl einer Lösungsmethode:  geometrisch oder als Extremalaufgabe

(Tipp:  geometrische Lösung hat mit rechtem Winkel zu tun)

4.)  Lösungsidee realisieren.

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