Halbwertszeit von einem Stoff der in 6 Stunden jeweils 15% abnimmt?

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4 Antworten

Im Prinzip ganz easy.

Die allgemeine Wachstums/Zerfallsformel kennst du?

W(t)=W(0)*q^t, wobei W(0)=Anfangsmasse, t=Zeit in Stunden und q=(1+p/100), p=Prozentsatz


Stellen wir das Ding mal für 'nen Stoff auf, der stündlich um 15% zerfällt, d.h. q=0.85 (1-15/100)

--> W(t)=W(0) * 0.85^t

Jetzt wollen wir ja wissen, für welches t die Halbwertszeit durchläuft, d.h. die Hälfte der Anfangsmasse (d.h. W(0)/2) vorhanden ist. Setzt man für W(t) nun W(0)/2 ein, folgt:

W(0)/2 = W(0)*0.85^t | :W(0)

1/2=0.85^t


Das ganze ist jetzt nach t zu lösen, also Logarithmus ziehen. Es gilt log(a^b)=b*log(a):

log(1/2) = t * log(0.85) | :log(0.85)

log(1/2)/log(0.85) = t

t~4.265

Nach etwas mehr als 4 1/4 Stunden ist also genau die Hälfte des Stoffes futsch.

Im Allgemeinen kannst du dir die Formel Halbwertszeit = log(1/2) / log(q) merken.

Wenn du den Vorgang für die Exponentialfunktion mit der Basis e wissen willst, dann schreibe 0.85^x zu e^(x*ln(0.85)) um, die restlichen Gedankengänge für die Rechnung sind die selben, das mache ich dir jetzt nicht auch noch vor. Die Formel, die am Ende rauskommt, ist sowieso fast die selbe.

NuyuraAyu 27.06.2017, 23:51

Danke! Das hat mir sehr geholfen!

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Geograph 28.06.2017, 10:52

"Nach etwas mehr als 4 1/4 Stunden ist also genau die Hälfte des Stoffes futsch."

Da ist doch etwas falsch !!

Wenn die Abnahme in 6 Stunden 15% beträgt, kann doch nicht nach 4¼ Stunden die Hälfte "futsch" sein !!

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MeRoXas 28.06.2017, 13:49
@Geograph

Ja, stimmt wohl. Dass pro t 6 Stunden vergehen, habe ich überlesen. Dann sind es eben 25.6 Stunden, etwas mehr als ein Tag also.

Da es in der Antwort von Studimup aber auch fehlt, kann es sein, dass der Zusatz erst später per Editierung nachgereicht wurde.

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N(t) = N(0) * (1 - 15 / 100) ^ (t / 6)

N(0) = Menge des Stoffes am Anfang, zum Zeitpunkt t = 0

N(t) = Menge des Stoffes am Anfang zum Zeitpunkt t

t = Zeit in Stunden

Nun die Halbwertszeit berechnen :

N(t) = N(0) / 2

N(0) / 2 = N(0) * (1 - 15 / 100) ^ (t / 6)

Durch N(0) teilen :

1 / 2 = (1 - 15 / 100) ^ (t / 6)

Logarithmieren :

t / 6 = ln(1 / 2) / ln(1 - 15 / 100)

Mit 6 multiplizieren :

t = 6 * ln(1 / 2) / ln(1 - 15 / 100)

t = 6 * ln(0.5) / ln(0.85)

t = 25,59... Stunden

1 Stunde hat 60 Minuten

0.59 * 60 ≈ 35 Minuten (ungefähr)

Also beträgt die Halbwertszeit ≈ 25 Stunden und 35 Minuten

Es ging darum, dass ein Stoff innerhalb von 6 Stunden um die Hälfte abnimmt.

25.59 / 6 = 4,265

Das wäre es wenn der Stoff innerhalb von 1 Stunden um die Hälfte abnehmen würde.

Dies geht so:
Du hast die Gleichung N=N0*a^(t)
  • N ist die Menge, die am Ende noch da ist
  • N0 ist das, was am Anfang da war
  • a ist die Rate, mit der etwas abnimmt
  • t ist die Zeit die Vergangen ist

Möchtest du jetzt die Halbwertszeit wissen, musst du dies nach t, Auflösen und den Rest einsetzen, was du weißt

Also umformen:

N/N0=a^(t) -> log(N/N0)=(t)*loga -> t=lg(N/N0)/loga

Jetzt musst du nur noch wissen, was du für a und N/N0 einsetzen musst. Für a kommt die Abnahmerate, das machst du bei prozentuellen Anteilen so: 1-%, dabi müsst ihr den Prozentwert als Dezimalzahl verrechnen, also hier a=1-0,15=0,85

N/N0 ist das Verhältnis von dem, was am Ende noch da ist und dem, was am Anfang da war. Bei der Halbwertszeit ist das immer 0,5, denn die Halbwertszeit ist schließlich die Zeit, nach der nur noch die Hälfte da ist.

Das setzt du nur noch in die Formel ein und berechnest es: t=log0,5/log0,85=4,265

Also nach etwa 4 Stunden und 16 Minuten ist die Hälfte Zerfallen, das ist auch die Halbwertszeit.

Falls du noch Informationen brauchst, kannst du auf unserer Seite nachgucken: Studimup.de

Geograph 28.06.2017, 10:55

Da ist doch etwas falsch !!

Wenn die Abnahme in 6 Stunden 15% beträgt, kann die Halbwertszeit doch nicht 4 Stunden und 16 Minuten betragen

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N(t2) = N(t1) • 2^(-(t2-t1)/λ)

N = Anzahl zur Zeit t

λ = Halbwertszeit

Mit
N(t2) = 0,85; N(t1) = 1; t2-t1 = 6h
λ ausrechnen

λ = log(2) • (t1-t2) / log(N(t2)/N(t1)) = 25,59h

Ob λ das richtige Symbol für die Halbwertzeit ist, weiß ich nicht genau

Die Gleichung ist dann

N(t) = N0 • 2^(-t/25,59h)

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oder auch

N(t2) = N(t1) • e^(-(t2-t1)/τ)

N = Anzahl zur Zeit t

τ = Zerfallskonstante

N(t2) = 0,85; N(t1) = 1; t2-t1 = 6h

τ = (t2-t1) / ln(N(t2)/N(t1)) = 36,92h

N(t) = N0 • e^(-t/36,92h)

Umrechnung λ = τ / ln(2)

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