Habe ich die exponentialfunktion richtig definiert?

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3 Antworten

Die Aussage, dass f(x) = a^{x} für 0&lne;a<1 einen Schrumpfungsprozess und für a>1 einen Wachstumsprozess beschreibe, gilt in dieser Form speziell dann, wenn die Variable x eine zeitliche Bedeutung hat, denn das Wort „Prozess“ impliziert eine zeitliche Entwicklung.

Exponentialfunktionen können jedoch auch in Zusammenhang mit einer nichtzeitlichen Variablen vorkommen, nämlich etwa bei Absorption von Licht in einem ansonsten klaren Medium.

Entscheidend ist, dass sich der Funktionswert für gleiche Frequenzen der Variablen x der Funktionswert um immer denselben Faktor ändert. Die Tangentensteigung ist stets proportional zum Funktionswert, und jede Exponentialfunktion lässt sich als e-Funktion formulieren:

a^{x} = e^{x⋅ln(a)},

wobei 'ln' für den Natürlichen Logarithmus steht und die Umkehrfunktion einer Exponentialfunktion ist:

y = e^{x} ⇔ x = ln(y).

Ja.

Eine Anmerkung zur Namenswahl im 2. Abschnitt:

Allerdings ist der "Wertebereich" einer Funktion die Menge der Zahlen, die "herauskommen" können.

a ist hier "Funktionsparameter" - statt "Wertebereich" würde ich "Parameterbereich" sagen. (Schau aber noch mal nach, was euer Lehrer meint.)

Aber der satz “a ist eine reelle zahl“ nicht ganz richtig. a ist positiv reell wäre richtig

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@ARBElTSAMT

Stimmt - hab ich auch übersehen.

Müsste also heißen "Dabei ist der Parameterbereich für a eingeschränkt auf ..." statt "Besonders interessant sind die Parameterbereiche ..."

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Alles soweit OK, nur spricht man bei x nicht von "unbekannter Variablen" , sondern vom Funktionsargument.

Eine Exponentialfunktion ist eine Abbildung

exp(x): R --> R+ ; x |--> a^x mit a ∈ R+

Also ist a keine reelle zahl sondern nur positive reelle zahl?

Edit: die frage hat sich erledigt

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@ARBElTSAMT

ja, hast du selbst geschrieben (einmal 0< a <1 dann 1< x )

(-1)^1/2 ist ja z.B. nicht definiert ;-)

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