Habe ich den Grenzwert der Funktion richtig berechnet?

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3 Antworten

Hallo,

leider nicht.

Der Grenzwert liegt bei 1/3.

Du mußt hier folgendermaßen vorgehen:

Du näherst Dich der 3 von zwei Seiten, indem Du einmal f(3+h) bestimmst, dann f(3-h), wobei Du h gegen Null gehen läßt.

Zunächst also nähern wir uns der Stelle von links:

f(3-h)=2/[(3-h)-3]-12/[(3-h)²-9]

Vom Nenner des linken Summanden bleibt nur -h übrig, denn 3-3=0

Den Nenner des rechten Summanden multiplizierst Du aus: 9-6h+h²-9.

Da sich die beiden Neunen aufheben, bleibt hier -6h+h², aus dem ein (-h) ausgeklammert werden kann, also (-h)*(6-h)

Nun bringst Du die Summanden auf einen Bruchstrich. Hauptnenner ist 
(-h)*(6-h):

[2*(6-h)-12]/[(-h)*(6-h)]

Multipliziere den Zähler aus:

(12-2h-12)/[(-h)*(6-h)]

Im Zähler bleibt -2h, weil sich die beiden Zwölfen aufheben.

Du kannst also -h kürzen:

2/(6-h)

Nun kann h gegen Null gehen und es bleibt als linksseitiger Grenzwert 2/6=1/3

Nun dasselbe für rechts, also Limes h gegen Null für f(3+h):

2/(3+h-3)-12/[(3+h)²-9]

2/h-12/[h*(6+h)]

(12+2h-12)/[(h*(6+h)]

2/(6+h)

Auch hier bleibt 2/6=1/3 übrig, wenn h gegen Null geht.

Der Grenzwert ist also 1/3, egal, aus welcher Richtung Du Dich der Stelle x=3 näherst.

Herzliche Grüße,

Willy

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Kommentar von Willy1729
03.11.2016, 11:40

In diesem Fall führt die Methode von Rhenane schneller zum Ziel, denn sobald Du beide Terme auf einen Nenner gebracht hast, verschwindet die Definitionslücke bei x=3 und Du kannst Dir das mit dem h sparen. Ist aber nicht verkehrt, diese Methode auch zu kennen. Auf diese Weise wird übrigens auch der Differentialquotient als Grenzwert der Differenzenquotienten bestimmt.

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Kommentar von Willy1729
04.11.2016, 17:09

Vielen Dank für den Stern.

Willy

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Nein.
Bringe alles auf einen Hauptnenner (Bruch 1 mit (x+3) erweitern), ergibt:
  (2x+6-12)/(x²-9)
=(2x-6)/(x²-9)            |im Zähler 2 ausklammern;Nenner=3. Binom
=2(x-3)/[(x+3)(x-3)]   |(x-3) kürzen
=2/(x+3)

lim x->3 für 2/(x+3)=2/6=1/3

(Jeder Bruch geht für sich zwar gegen plus/minus-unendlich (je nachdem von welcher Seite Du Dich näherst), aber aus unendlich minus unendlich kannst Du keine Schlüsse ziehen...)

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Wenn man die Rechenregel 

limx→∞[f(x)+g(x)]=limx→∞f(x)+limx→∞g(x)

verwendet hat man :

lim (2/x-3) =  ∞ [=a]

lim (12/x²-9) =  ∞ [=b]

und a+b = ∞ - (∞) = 0


Also ist der lim ( 2/x-3  - 12/x²-9 ) mit x->3 gleich Null.


Überprüfen kannst ud so etwas auch hier:

http://de.numberempire.com/limitcalculator.php





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Kommentar von Rhenane
03.11.2016, 11:21

So einfach ist es leider nicht. Die Funktion hat eine behebbare Definitionslücke bei x=3. Der Grenzwert für x gegen 3 liegt bei 1/3.

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