H-methode für den differenzenquozienten

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2 Antworten

Kennst du den Differenzenquotienten? Das ist

(f(x0 + h) - f(x0)) / h. Jetzt setzt du das einfach ein:

(f(x0 + h) - f(x0)) / h

= (f(4/3 + h) - f(4/3)) / h

= ((4/3 + h)² - (4/3 + h) + 2 - ((4/3)² - 4/3 + 2)) / h. Das kann man bestimmt ein bisschen schöner schreiben. Am Ende sollte sich das h im Nenner irgendwie rauskürzen und du kannst die Grenzwertbetrachtung für h~> 0 machen...

Ich finde es "schöner", den Grenzwert h -> 0 des Differenzenquotienten zunächst allgemein zu bilden und in das Ergebnis dann den konkreten Wert von xo einzusetzen, also:

f ' ( x ) = lim [h->0] ( f ( x + h ) - f ( x ) / ( x + h - x ) )

= lim [h->0] ( ( ( x + h ) ² - ( x + h ) + 2 ) - ( x ² - x + 2 ) ) / h

= lim [h->0] ( x ² + 2 h x + h ² - x - h + 2 - x ² + x - 2 ) ) / h

= lim [h->0] ( 2 h x + h ² - h ) / h

= lim [h->0] h * ( 2 x + h - 1 ) / h

= lim [h->0 ] 2 x + h - 1

= 2 x - 1

Für x = xo = 4/3 ergibt sich dann:

f ' ( 4 / 3 ) = 2 * ( 4 / 3 ) - 1 = 5 / 3

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