Guten Tag, ich bräuchte Hilfe beim Lösen folgender Aufgabe: Untersuchen Sie die Funktion f: [0,inf [ -> R auf Diffbarkeit f(x):= x*sin(pi/x), x>0 und =0, x=0?

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2 Antworten

x > 0: Verkettung und arithmetische Operationen differenzierbarer Funktionen.

x = 0: Grenzwertbetrachtung. Schau dir auch an, was bei der Substitution z := 1/x passiert: g(z) = sin(pi z) / z

Wenn ich bei Google eingebe

differenzierbarkeit x sin

schlägt es mir schon vor

differenzierbarkeit x*sin(1/x)

Schau dir insbesondere an, ob die Steigung sich für x->0 "anständig" verhält, also nicht zwischen z. B. +1 und -1 hin- und herschwankt.

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Weil die Funktion sin(1/x) differenzierbar ist für alle x > 0,

ist die Funktion f(x) = x * sin(pi/x) diffenzierbar für alle x > 0.

Die Untersuchung beschränkt sich also auf x = 0.

Die Funktion f(x) = x * sin(pi/x) ist an der Stelle x=0 differenzierbar,
wenn der Grenzwert lim x->0 ( f(x) - f(0) ) / x existiert.

f(0) = 0, weil | sin(1/x) | <= 1 für alle x, also ist x * sin(pi/x) = 0 für x = 0.

lim x->0 ( f(x) - f(0) ) / x =
lim x->0 ( f(x) / x ) =
lim x->0 sin(pi/x)

Das enspricht

lim x->0 sin(1/x), mit x -> x * pi

Nun definiert man zwei Nullfolgen a(n) = 1/(2pi*n) und b(n)= 2/((4n+1)*pi)

sin ( 1/a(n) ) = sin ( 2pi*n) = 0 für alle n
sin ( 1/b(n) ) = sin ( 2pi*n + pi/2) = 1 für alle n

Somit existieren zwei Nullfolgen a(n) und b(n) mit unterschiedlichen Grenzwerten. Die Funktion ist also bei x=0 nicht differenzierbar.

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