Gültigkeit einer Rekursionsformel beweisen?

1 Antwort

Zu zeigen ist b(n + 1) = { 1 + 2b(n) }/{1 + b(n) }

Mit b(n) = a(2n + 1)/a(2n) und folglich b(n + 1) = a(2n + 3) / a(2n + 2)

also zu zeigen

a(2n + 3) / a(2n + 2) = { 1 + 2a(2n + 1) / a(2n) } / { 1 + a(2n + 1) / a(2n) } =

{ [a(2n) + 2a(2n + 1)] /a(2n) } / { [a(2n) + a(2n + 1)] /a(2n) } =

{ a(2n) + 2a(2n + 1) } / { a(2n) + a(2n + 1) }

Wenn die a(n) Fibonacci-Zahlen sind, gilt a(2n) + a(2n + 1) = a(2n + 2)

und a(2n + 1) + a(2n + 2) = a(2n + 3).  Damit wird der letzte Bruchterm zu

{ a(2n + 2) + a(2n + 1) } / a(2n + 2) = a(2n + 3) / a(2n + 2)   q.e.d.

Wow, vielen herzlichen Dank für diese ausführliche Antwort. Ich habe mich vorhin gerade hingesetzt und das ganze angeschaut und verstehe es tatsächlich! 

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