Grenzwerte und Konvergenz: Wie rechnet man das?

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4 Antworten

Immer mit der Ruhe... Meine Antwort ist etwas länger, aber deine Probleme wohl auch etwas größer.


"Also es gibt einmal die Grenzwerte. Funktionen wie lim x gegen 2 von der Funktion (x²+1)/2x kann man einfach so erechnen wenn man einfach entsprechend für alle x 2 einsetzt. 5/4 kommt da raus."

Kommentar: Ich nehme an, dass der Funktionsterm "(x²+1) / (2x)" gemeint ist. Dann und nur dann stimmt der angegebene Wert. Jeder Rechner bekäme "5" heraus, weil in der von dir gewählten Schreibweise "x" nicht zum Nenner gehört.

Deine Rechnung stimmt, weil diese Funktion an allen Stellen bis auf x = 0 stetig ist. Allgemeiner: Gebrochen rationale Funktionen wie diese ( = In Zähler und Nenner des Funktionsterms stehen Polynome) sind unstetig bei Nullstellen des Nenners, sonst überall stetig.


"Wie rechnet man das aber wenn lim gegen unendlich verläuft? Rechnet man das dann analytisch, wie mit der Konvergenz halt, um zu sagen, dass die Folge konvertiert (divergiert)?? Bei der obigen Funktion würde es jedenfalls divergieren oder? Weil das x mit dem Exponenten im Zähler stetig größer wird als der im Nenner."

Kommentar:

  • Mit der Variable x werden normalerweise Funktionen geschrieben, nicht Folgen.
  • Richtig ist auch, dass die Funktion mit diesem Term für x → +∞ divergiert, denn für eine beliebig große Zahl a > 0 lässt sich ein x0 so angeben, dass für x > x0 alle Funktionswerte größer sind als a.
  • Ebenso ist richtig, dass die Funktion für → - ∞ divergiert, denn für eine beliebig kleine Zahl a < 0 lässt sich ein x0 so angeben, dass für x < x0 alle Funktionswerte kleiner sind als a.
  • Weiter gilt aber für x → ± ∞:

lim (x² +1) / (2x) = lim x² / (2x) + 1 / (2x) = x² / (2x) + 0 = x/2

  • Die Funktion konvergiert nicht gegen eine Zahl, d.h. sie hat keinen Grenzwert.
  • Sie hat aber eine sogenannte schräge Asymptote, d.h. wenn du einen beliebig kleinen Abstand ε > 0 zwischen den Werten der Funktion und den Werte ihrer Asymptote vorgibst, lassen sich Zahlen x0 (bzw. x1) so angeben, dass für alle x > x0 (bzw. x < x1) dieser Abstand unterschritten wird. In diesem Sinn ist sie konvergent.

"Jetzt habe ich aber mit paar Aufgaben zu kämpfen und da es ja nicht wirklich Formeln gibt sondern Kritierien, habe ich hier heftige Probleme (siehe Bild). Aufgabe g z.B: lim x gegen Unendlich der Funktion (1+2+3+...+n)/(n)² Da habe ich als Ergebnis geschrieben >=0,5 da: sei n die letzte Reihe der Summanden, so ist z.B: (1+2+3+4+5+6+7+8...+20)/(20)²= 0,525 Das ganze habe ich tatsächlich bis 40 gemacht und war auch etwas größer als 0,5. Kann man bestimmt mit Taschenrechner machen, weiß aber nicht wie ich das eintippen muss... hinzu kommt weiß nicht ob es nun wirklich größer gleich 0 ist oder immer größer als 0 bleibt."

Kommentar:

A. Eigentlich sind alle Aufgabe auf dem Blatt zu lösen, ohne irgend etwas zu rechnen: Der Grenzwert für x → ∞ ist der angegebene Term, den jener enthält nur n (und kein x). Also ändert er sich nicht mit x; für je ein x ist die angegebene Funktion also die konstante Funktion und konvergiert (trivial) gegen ihren einzige Funktionswert. Beispiel: Die Funktion

f(x) = (8 -n³ + 3n^5) / (5 + 3n² + 4n^5)

kann für n = 2 auch geschrieben werden:

f(x) = 96 / 145,

und für x → ∞ folgt:

lim f(x) = lim 96 / 145 = 96 / 145,

entsprechend für jedes andere n. Also lautet für x → ∞ die einzig mathematisch richtige Lösung :

lim (8 -n³ + 3n^5) / (5 + 3n² + 4n^5) = (8 -n³ + 3n^5) / (5 + 3n² + 4n^5);

entsprechend für alle anderen angegebenen Aufgaben.

B. Wenn "ganz willkürlich" die Voraussetzung so geändert wird, dass nicht der Grenzwert für x → ∞, sondern für n → ∞ betrachtet werden soll, kommst du bei Aufgabe g mit Taschenrechner-Getippe wohl nicht weiter, sondern damit, dass die du die Summenformel für die arithmetische Reihe verwendest.

lim (1 + 2 + 3 + ... + n) / n² =

für k = 1,...,n :

lim ( ∑ k ) / n² =

(z.B. bei Wikipedia mit >http://de.wikipedia.org/wiki/Gau%C3%9Fsche_Summenformel, der Artikel "arithmetische Reihe" verweist dorthin:)

lim ( n(n+1) / 2) / n² =

lim (n² + n) / (2n²) =

lim (n² / (2n²)) + (n / (2n²)) =

1/2 + lim (1 / (2n)) =

1/2 + 0 = 1/2

C. Entsprechende Überlegungen für die anderen Aufgaben (für lim n → ∞: )

e) lim (8 -n³ + 3n^5) / (5 + 3n² + 4n^5) =

erweitere den Bruch mit " 1 / höchste Potenz des Nenners":

lim (8/n^5 -1/n² + 3) / (5/n^5 + 3/n^3 -4) = -3/4, siehe Ellejolka;

f) lim ( (√(2) * 10^n - 1) / 10^n ) ² =

gleich Vorgehensweise wie in e):

lim ( (√(2) - 1 / 10^n) ) ² =

  • mit lim 1 / 10^n = 0:

lim ( √(2) ) ² = 2;

h) lim (4n - 5cos(π n) ) / (5n) =

(Überlegung wie in e) und f));

lim ( 4 - [ 5cos(π n) / n ] ) / 5 = 4/5, denn

  • für geradzahlige n ist cos(π n) = 1,
    -für ungeradzahlige n ist aber cos(π n) = -1;

da aber sowohl

  • lim 5 / n = 0 als auch
  • lim -5 / n = 0,

beeinflusst keiner der Terme den Grenzwert.

WEITER IM NÄCHSTEN FENSTER

"Was ist jetzt, bezogen auf dieser Aufgabe, der Unterschied ob man Grenzwert berechnet oder die Konvergenz?? Speziell zu Konvergenz: der Grenzwert als muss als bekannt vorausgesetzt werden, um zu bewesien, dass eine Annäherung (im Grenzwert) erfolgt oder? wie sieht es dann bei Konvergenzfolgen im Unendlichen aus? WIE rechnet man sowas, also rechnerisch, erst recht wenn man so verflixte Funktionen wie oben hat? :( "

Kommentar:

Konvergenz ist ein allgemeinerer Begriff, der beispielsweise das Vorhandensein schräger Asymptoten einschließt (s.o.); ein Grenzwert ist eine Zahl.

Um Konvergenz festzustellen, gibt es verschiedene Kriterien. Beispielsweise ist das Cauchy-Kriterium besonders geeignet, um das Vorhandensein eines Grenzwerts auch dann zu beweisen, wenn dessen Wert nicht bekannt ist. Beispielsweise lässt sich mit Cauchy gut nachweisen, dass ∑ 1/n² existiert, diese unendliche Summe also eine Grenzwert hat. Ihn zu bestimmen, ist weniger trivial (ich persönlich weiß z.B., dass π² / 6 herauskommt, aber nicht, wie man dahin kommt). Sonstiges s.o.

isbowhten 30.12.2013, 15:11

dazu eine kleine anmerkung. es gibnt eine geschickte fourier-reihe von x-pi oder sowas ähnliches (lang ists her), womit man sehr einfach auf den wert kommt.

wenn man mit diesen stichworten im internet nichts findet, und es dich aber dennoch interessiert, dann kann ich mal nach alten unterlagen suchen.

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psychironiker 30.12.2013, 20:59
@isbowhten

@isbowthen. Ich fände das schon interessant; ob es Terumune interessiert, ist wohl eher fraglich.

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isbowhten 30.12.2013, 22:56
@psychironiker

"Ein gängiger Weg dahin führt über die Berechnung der Fourier-Reihe von f(x)=x^2 im Intervall [-Pi; Pi] und deren Auswertung an der Stelle Pi. "

die reihe, die ich damals berechnen sollte war von pi-x oder sowas ähnliches. weiß nicht mehr genau. auf keinen fall x^2.habe es mit pi-x mal ausprobiert und hatte keinen erfolg (vielleicht hab ich mich ja verrechnet). angeblich soll es ja aber auch wie oben beschrieben funktionieren. das hab ich etz nich selber ausprobiert.

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Aufgabe g z.B: lim x gegen Unendlich der Funktion (1+2+3+...+n)/(n)²

Dann wäre das eine konstante Funktion (denn der Funktionsterm enthält kein x), sie wäre noch von dem Parameter n abhänging; anders gesagt, es wäre eigentlich eine Funktionenschar fn mit lauter konstanten Funktionen, und es würde gelten:

lim x gegen Unendlich der Funktion (1+2+3+...+n)/(n)² = (1+2+3+...+n)/(n)²

eben weil da im Term gar kein x steht.

Aber wahrscheinlich war das nicht so gemeint, sondern so:

lim n gegen Unendlich der Funktion (1+2+3+...+n)/(n)²

Bei allen deinen Aufgaben steht "x->unendlich" unter dem "lim", aber in den Termen steht kein x sondern n. Das ist sehr wahrscheinlich ein Druckfehler. Es soll sicher überall "n->unendlich" heißen. Mach den Aufgabensteller (deinen Professor oder wen immer) darauf aufmerksam.

jeden Term durch Potenz mit höchster Hochzahl des Nenners teilen, dann n→oo

e) → -3/4

f) → 2

g) → 0

Melvissimo 30.12.2013, 10:15

g) stimmt so nicht. Nach der Gauß'schen Summenformel ist

1 + 2 + 3 + ... + n = n * (n + 1) / 2 = (n² + n) / 2. Daher lautet der gesamte Term

(n² + n) / (2 * n²) und das konvergiert offenbar gegen 1/2.

Aufgabe h) lässt sich mit ein wenig AnaIysis lösen. Zieht man den Term mittels Distributivgesetz auseinander und wendet einen Grenzwertsatz an, so kommt man auf

lim ((4n) / (5n)) - lim (cos(PI * n) / (5n))

= 4/5 - lim (cos(PI * n) / (5n)). Durch die Abschätzung

|cos(PI * n)| <= 1 folgt aber sofort, dass der rechte Grenzwert gleich 0 sein muss. Daher konvergiert das ganze gegen 4/5.

Eine Voraussetzung für alle obigen Aufgaben ist übrigens, dass man den Grenzwert "n -> unendlich" und nicht "x -> unendlich" betrachtet, ansonsten wäre alles trivial ;)

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Melvissimo 30.12.2013, 10:31
@Melvissimo

Nachtrag:

f) stimmt auch nicht. Nutzt man die binomische Formel im Zähler, so kommt man auf

(2 * 10^(2n) - sqrt2 * 10^n + 1) / 10^n

= 2 * 10^n - sqrt2 + 1 / 10^n

und das divergiert wohl gegen unendlich, wenn ich mich nicht gänzlich irre.

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psychironiker 30.12.2013, 11:58
@Melvissimo

f) geht gegen 2; du hast vergessen, den Nenner auch zu quadrieren.

Die Anwendung der binomischen Formel ist möglich, aber nicht erforderlich.

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