Grenzwerte mit zwei unbekannten

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4 Antworten

im prinzip rechnet man das dann für jeden punkt x einzeln aus.

z.B.: sei x=1, dann hat man 2/1^(2n) + 2 -> 2+2=4

sei x=2, dann hat man 2/2^(2n) + 2 -> 0+2=2

weil das aber zu mühsam ist (unendlich viele punkte !!!), betrachtet man nur solche x, für die die funktion das qualitativ gleiche verhalten hat.

z.B.: x^(2n) wird immer größer für x>1, immer kleiner für x aus (0,1).... das wird alles recht kompliziert in den negativen zahlen, weil sich das vorzeichen immer wechselt, deshalb unterscheide ich die fälle sinnvollerweise folgendermaßen:

solche x, für die |x| <1, oder |x|>1, oder |x|=1

bei bedarf müssen die fälle noch feiner unterschieden werden.

ist |x|>1, so wird |x|^(2n) immer größer, das vorzeichen stört uns nicht, da 2/"+unendlich" und 2/"-unendlich" stets 0 ergibt, und der grenzwert damit 0+2=2 ist.

ist |x|<1, so wird |x|^(2n) immer kleiner (geht gegen 0) und man teilt 2/"+0" oder 2/"-0". beide male divergent. falls x>0 ist zudem die folge bestimmt divergent gegen +unendlich, ansonsten schwankt es ständig zwischen +unendlich und -unendlich hin-und-her. für x=0 ist der ausdruck garnicht definiert!!!

ist |x|=1, so bleibt |x|^(2n) = (|x|^2)^n = +1 (kein minus, das wird weg-quadriert). und damit konvergiert der ausdruck gegen 2+2=4

damit ist deine grenzfunktion auf (-unendlich,-1] vereinigt [1,unendlich) definiert und ist immer 2, außer an den stellen +1 und -1, dort ist sie 4. an der stelle 0 ist weder deine folge, noch die grenzfunktion definiert, an den restlichen stellen divergiert deine folge, bestimmt gegen unendlich für x aus (0,1) und unbestimmt für x aus (-1,0).

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A. Im Prinzip wie isbowthen, jedoch wohl etwas geordneter. Ich nehme für

a_ n = 2 / x^(2n) +2

n ∈ IN als vorausgesetzt an.


B. Fall 1: x = 0 (wegen 0 ∈ IR laut vorgelegter Definition möglich) ⇒

Die mit dem angegebenen Funktionsterm eindeutig dargestellte Folge existiert wegen verbotener Division durch 0 nicht. ( - ?!? - s.u. "C.")


Fall 2: x ≠ 0

  • Für 0 ≠ x ∈ IR ist x² > 0; wegen
  • x^(2n) = (x²)^n für bel. x ∈ IR

lässt sich der Nenner auch

  • r^n

schreiben, wobei günstigerweise 0 < x² = r ∈ IR . Dann gibt es drei Unterfälle:

. . .

Fall 2.1: | x | > 1 ⇔ r > 1

Für n → ∞ ist

  • mit Grenzwertsätzen und
  • Vorwissen oder Epsilontik nach Weierstraß für lim 1 / r^n :

lim 2 + 2/r^n =

2 + 2 * lim 1/r^n =

2 + 2 * 0 = 2

. . .

Fall 2.2: | x | = 1 ⇔ r = 1

lim 2 + 2 / r^n =

2 + 2 * lim 1/1^n =

2 + 2 * 1 = 4

. . .

Fall 2.3: | x | < 1 ⇔ r < 1

Mit Vorwissen oder Ungleichungsbetrachtung zum Beweis von 2/r^(n+1) > 2/r^n:

Die Folge wächst für hinreichend große n über jede vorgegebene positive reelle Zahl ⇒ keine Konvergenz.


C. Vorsicht: Falls in Wahrheit

a_ n = 2 / (x^(2n) + 2)

gemeint war, sieht alles etwas anders aus.

Folge und Grenzwert existieren dann immer; je nach Fall und Unterfall ist der Grenzwert

  • 1 (zwei Möglichkeiten), 0 oder 2/3

Vorgehensweise wie unter B. dargestellt.

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Kommentar von psychironiker
06.09.2014, 08:53

GROSSER MIST, dongodongo hat Recht.

x^(2n) ist ungleich (x²)^n

Die Fallunterscheidung läuft anders, die Idee mit r = funktioniert nicht..

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Ich definiere jetzt einfach mal die Funktionenfolge, wie ich meine, dass sie richtigerweise lautet. Die Notation ist zwar eindeutig, aber den letzten Summanden +2 kann ich nicht einordnen.

f_n(x) := 2/(x^(2n) + 2).

Beh.: Es existiert eine Funktion f(x), so dass lim_(n->unendlich)f_n(x)=f(x).

Diese Funktion ist gegeben durch,

f(x)= 1 falls x aus (-1;1), 1/2 falls x aus {-1;1}, 0 falls x aus R[-1;1].

Eine Stufenfunktion also...

VG, dongodongo.

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Kommentar von dongodongo
06.09.2014, 09:13

Rechenfehler: Ersetze: 1/2 durch 2/3.

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Danke an alle. Ich werde erstmal eure Hilfestellungen probieren

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