Grenzwerte bei Folgen/beschränkte Folgen?

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2 Antworten

Hallo lenaliebtfragen,

Eine Folge kann beschränkt sein, d.h., dass sie Gewisse Werte nicht unter- oder überschreitet. Sie kann dann  - und nur dann - auch einen Grenzwert besitzen, aber das muss nicht sein. 

Berechnen kann man, ob eine Folge überhaupt beschränkt ist, meist indem man sie mit einer anderen Folge vergleicht, von der man schon weiß, das diese beschränkt ist. Beispiel: Du willst zeigen, dass eine Folge a nach oben beschränkt ist und kennst eine Folge b, die ebenfalls nach oben beschränkt ist und von der du zeigen kannst, dass für alle n gilt: b_n > a_n. Dann muss auch a beschränkt sein. (Majorantenkriterium heißt das dann, es gibt noch weitere.)

Hat man eine beschränkte Folge kann man noch zeigen("berechnen"), dass ein Grenzwert existiert - oder ggf., dass genau das nicht der Fall ist.

Hier ein kleines Beispiel:

Meine Folge sei: a_0 = 0, a_1 = 0,3, a_2 = 0,33, a_3 = 0,333, ...

Die Folge ist monoton wachsend, denn jedes Glied ist größer als sein Vorgänger. Sie ist ebenfalls beschränkt, jede Zahl > 0,4 ist z.B. eine obere Schranke. Es existiert kein Grenzwert.

Jede dieser Aussagen werde ich jetzt "berechnen":

Monotonie: diese ist quasi durch die Definition der Folge schon vorgegeben: a_(n+1) = a_n + 3 * 10^-(n+1) ==> a_(n+1) - a_n = 3 * 10^-(n+1). qed 

Den Rest muss ich auf später verschieben, meine Kinder sind ebenaufgewacht 😊

Fortsetzung folgt...

Meine Lange Fortsetzung ist irgendwie im Äther verschwunden.😁 Daher jetzt nur kurz: Ich habe mich geirrt,die Folge hat einen Grenzwert, nämlich 1/3. Das sieht man am besten, wenn man sie nichtrekursive formuliert:
a_n = (10^n - 1)/(3*10^n).

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@Physikus137

Sehr gute Erklärung. Das deine Folge einen Grenzwert haben muss ist ziemlich schnell klar, wenn man das Kriterium kennt, das beschränkte monoton(Wachsende/Fallende) Folgen Konvergieren.
LG  Simon

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