grenzwertbetrachtung wie warum?

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4 Antworten

Da gibt es das schöne Wort Asymptote. Das ist eine Linie, an die sich die Kurve "anschmiegt". Nimm z.B. f(x) = 4 + 1/x

Wenn du x —> ∞ gehen lässt, wird der Bruch verschwindend klein. Dann geht f(x) —> 4 nach rechts..
Bei -∞ entsprechend von unten nach links. Das ist dann die Asymptote y = 4

Wenn du aber x —> 0 laufen lässt, wird 1/x ungeheuer groß, und zwar für positive und negative x verschieden, einmal nähert sich f(x) der y-Achse von rechts und geht nach oben (positive x), zum anderen von links nach unten.

Wenn du eine Kurvendiskussion machst, ist dieses Verhalten in der Unendlichkeit eine wertvolle Hilfe, um beim Verlauf der Kurve diese Grenzen einzuhalten. Sonst kann leicht mal beim Zeichnen ein Wert y < 4 entstehen, und das wäre auf der positiven Seite falsch.

"Die Grenzwertbetrachtung" ist eine seltsame Sprechweise, denn die gesamte Differentialrechnung beruht auf Grenzwertbetrachtungen (insbesonderes auch die Bestimmung von Extremwerten und Wendepunkten, die du im konkreten Fall bereits durchführtest).

Gemeint sein könnte

  • das Verhalten der Funktion für x → ± ∞ (1) und
  • das Verhalten an bei Näherung an eine Nullstellen des Nenners eine gebrochen rationalen Funktion. (2)

(1) Die Funktion kann

  • bestimmt divergent sein, also gegen + ∞ oder - ∞ gehen,
  • unbestimmt divergent sein, also ständig auf und ab wandern (wie z.B. Sinus und Cosinus),
  • gegen einen Wert konvergieren (wie die von dir vorgelegte Funktion gegen → 0 für x → ± ∞ ) oder
  • eine schräge Asymptote haben (wenn du bei einer gebrochen rationalen Funktion per Polynomdivision herausbekommst, dass sich diese additiv aus einer ganzrationalen Funktion und einer gegen 0 konvergierenden zusammensetzt).

(2) Die Funktion kann

  • eine "hebbare Definitionslücke" haben, wenn die Nullstelle auch eine solche des Zählers ist, oder
  • einen Pol mit oder ohne Vorzeichenwechsel; du bestimmst dabei, ob die Funktion bei Näherung von links bzw. von rechts an die Nullstelle des Nenners gegen + ∞ oder gegen - ∞ geht.)

Die von dir vorgelegte Funktion hat zwei Polstellen bei x1,2 = ± √ ( 5/3 ), denn für diese Werte wird der Nenner 0, der Zähler aber nicht. Daher ist interessant, das Verhalten der Funktion für x → ± √ ( 5/3 ) (jeweils bei Näherung von links und von rechts) zu untersuchen. Da die Funktion achsensymmetrisch zur y-Achse ist, reicht aus, das nur für einen der Pole zu machen; das Verhalten am anderen kann direkt daraus geschlossen werden. Es ist bei diesem Teil der Kurvendiskussion nicht sinnvoll, das Verhalten der Funktion für x → 0 zu betrachten (allerdings muss die Funktion aus Symmetriegründen beim Schnitt mit der y-Achse ein Extremum haben).

Für x → 0 geht f(x) → 0,04 . Für x → ∞ geht f(x) → 0 .

du hast ja 1/(3x²-5)² hier ist interessant x -> oo und x -> -oo

und Pol x= +- wurzel(5/3)

Serwan97 19.11.2014, 22:20

Ja und jetzt ? Interessant ok aber wie geht's weiter ?

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Ellejolka 19.11.2014, 22:27
@Serwan97

vieleicht mal selber überlegen? bei x -> oo wird x gaaaanz groß; was passiert dann mit dem Bruch? und bei x -> -oo ?

dann beim Pol von links und rechts "rangehen".

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