Grenzwert von x-> unendlich?

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6 Antworten

Das = macht keinen Sinn

du kannst nur schreiben lim x-> unendlich von (8+9x²-5x⁴)/(6x⁴-9x)

du hast hier die unbestimmte Form unendlich/unendlich da könnte man jetzt mit dem Satz von Hospital anfangen....

Man kann sich das Ergebnis auch überlegen, wie man sieht handelt es sich hier um eine Rationale Funktion. Die am schnellsten wachsenden Terme eines Polynoms sind immer die mit der Höchsten Potenz.

Damit kommt man zur Überlegung dass der Grenzwert eines Polynoms hauptsächlich durch seine höchste Potenz bestimmt ist.

Die Rationale Funktion ist ja nur Polynom / Polynom wenn also beide Polynome gleichen Grades sind ist der gesamte Grenzwert nur durch die höchsten Potenzen bestimmt, das führt auf das Ergebnis -5/6 also die Faktoren vor den x⁴.

Würde im Zähler ein x⁵ stehen wäre der Grenzwert unendlich würde der Nenner höheren Grad haben als der Zähler wäre der Grenzwert 0.

Weil so eine Antwort in Uni oder Schule aber meist nicht ausreicht kann man die Formel noch zerlegen und das ergebnis recht schnell finden:

-5x⁴/(6x⁴-9x) + 9x²/(6x⁴-9x) + 8/(6x⁴-9x)

bei dem ersten und zweiten Term können wir mal durch die x Potenz im Zähler dividieren:

-5/(6-9/x³) + 9/(6x²-9/x) + 8/(6x⁴-9x)

Jetzt lassen wir x gegen unendlich gehen:

beim ersten Term bleibt -5/6 übrig weil 9/unendlich geht gegen 0.

beim zweiten Term bleibt 0 übrig und beim dritten auch.

Somit steht nach der Grenzwertbildung:

-5/6+0+0 = -5/6 und wir haben das selbe Ergebnis wie oben.

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erstmal läuft nicht X gegen 0 sondern f(x), das bitte beachten.

aber nein auch die 0 ist leider falsch.

am einfachsten ist es, du kürzst den bruch mit der höchsten vorhanden potenz, hier also x^4, dann erhälst du folgendes

8/x^4 + 9/x^2 - 5

------------------------------

6 - 9/x^3

wenn du jetzt x->unendlich laufen lässt, siehst du, dass die ganzen teilbrüche (8/x^4 , 9/x^2 und 9/x^3) gegen 0 laufen, da du jeweils eine konstante durch unendlich hast. nur -5 und 6 bleiben übrig, also lim x-> f(x) = -5/6

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Kommentar von DerServerNerver
28.07.2016, 17:08

Erst hier auf genaue Formulierungen pochen und dann lim x -> f(x) schreiben. Es müsste lim x->∞(f(x))=-5/6 heißen.

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Wie exakt berechnet ihr es denn? 
Über den Daumen bekommt man es meist sofort heraus.
Allen Potenzen gegenüber überwiegt x⁴, sodass bei genügend hohen x nur noch 

-5x⁴ / 6x⁴

relevant ist. Das ist eine Asymptote von -5/6 in positiver und negativer Richtung von x

-5/6 ≈ - 0,833      für x → ± ∞






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Ich würde eher schätzen dass es gegen 5/6 läuft

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Hallo, 

Habe nachgerechnet und ja, es geht gegen 0 da x gegen 0 geteilt durch gegen unendlich rauskommt und das ist 0^^

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Kommentar von Epicmetalfan
28.07.2016, 15:28

oben kommt aber nicht 0 sondern - unendlich raus

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