Grenzwert einer Wurzel?

4 Antworten



Bringt dich das weiter?

Du hast die +5 vergessen . Ja mit der 3 binomischen Formel hab ich auch angefangen . Dann kam als Zwischenergebnis : ( 4n^2+7 -(4n^2 +5)^2 ) / Wurzel ( 4n^2 +7 ) +2n +5 . Und dann kam ich auf das oben genannte Ergebnis .

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@Xenophon98

Nö, hab ich nicht vergessen. Die ist nur absolut unwichtig für alle Umformungen.

Lass sie einfach raus und addier sie am Ende auf den Grenzwert.

Dritte binomische ist (a+b)(a-b)=a²-b², d.h. die Wurzel hebt sich auf und kürzt sich mit dem Quadrat von 2n weg. Dein Zwischenergebnis kann ich nicht nachvollziehen.

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@Xenophon98

Wenn du den Zähler nach der 3. binomischen Formel ausrechnest, bleibt 7 stehen.

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Hallo,

Zieh 4n² aus der Wurzel:

2n*Wurzel (1+7/(4n²))-2n+5

2n ausklammern:

2n*(Wurzel (1+7/(4n²))-1)+5

Bei n gegen unendlich wird der Ausdruck unter der Wurzel 1, denn 7/(4n²) geht dann gegen Null.

So bleibt 2n*(Wurzel (1)-1)+5

Wurzel (1)-1=0

2n*0=0

Es bleibt die 5.

Herzliche Grüße,

Willy

Abschätzung von unten:

Der Limes ist grösser gleich Wurzel( 4n² ) -2n + 5 = 5

Abschätzung von oben:

Die Wurzel ist monoton wachsend mit abnehmender Steigung (d.h. konkav)

Eine obere Abschätzung liefert also die lineare Approximation über die erste Ableitung (bzw. der Anfang der Taylorentwicklung)

Wurzel(x+h) < Wurzel(x) + h / ( 2 Wurzel(x))

Im Beispiel: Wurzel ( 4n² + 7 ) < 2n + 7 / (4n)

Insgesamt Wurzel ( 4n² + 7 ) -2n + 5 < 2n + 7 / (4n) -2n + 5 = 7 / (4n) + 5

Damit ist der Fall klar

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