Grenzwert bestimmen, Ausdrücke zusammenfassen?

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Hallo,

lassen wir erstmal den limes weg.

Du hast die Frage von Ellejolka nicht beantwortet; wahrscheinlich weil dir die richtige Klammersetzung nicht klar ist. (Das ist kein Vorwurf, nur eine Feststellung. Viele Leute haben damit Schwierigkeiten.)

Das von dir angegebene Ergebnis kommt nur dann raus, wenn der Term folgendermaßen geklammert ist:

(*)  x³/(x²+x+1) - (x²+1)/x

So, wie du ihn geschrieben hast, bedeutet er folgendes:

x³/x² + (x+1) - x² - 1/x.

Also rechnen wir mit dem Term (*) :

x³/(x²+x+1) - (x²+1)/x = [x³•x - (x²+1)•(x²+x+1)] / [(x²+x+1)•x] =

[ x⁴ - (x⁴+x²+x³+x+x²+1) ] / (x³+x²+x) =

(x⁴ - x⁴ - x² - x³ - x - x² - 1) / (x³+x²+x) =

(-x³ - 2x² - x - 1) / (x³+x²+x) = -(x³+2x²+x+1) / (x³+x²+x)

Nun dividieren wir Zähler und Nenner durch x³
(also multiplizieren wir den Bruch mit  1 = x⁻³/x⁻³ )

-(x³+2x²+x+1) / (x³+x²+x) = -(1+2/x+1/x²+1/x³) / (1+1/x+1/x²)

Lassen wir nun x gegen Unendlich gehen, dann gehen alle Terme, wo x im
Nenner steht, also 2/x, 1/x², 1/x³ und 1/x, gegen Null. Es gilt also

(x→+∞) lim [ x³/(x²+x+1) - (x²+1)/x ] =

(x→+∞) lim -(1+2/x+1/x²+1/x³) / (1+1/x+1/x²) = -1

Gruß

Ohja, stimmt.
Ja, Mathe ist überhaupt nicht meins und ich muss mich irgendwie durch Mathe I durchquelen, danach ist sowieso Schluss.

Wenns nach mir ginge, dann würde man Ausrücke wie (x²/x²) teilen dürfen undzwar auch bei (x²-x+x³-1)/(x³-x²+x) und es würde immer 1 rauskommen, aber die Mathematik ist kompliziert.

Kannst du vielloeicht einmal sagen welche Regeln da genau angewand wurden bzw. was ich mir genauer anschauen sollte ?

Sonst vielen dank für die Mühe, hat mir super geholfen !

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@LikEaStar94

Hi,

freut mich, dass es dir geholfen hat.

Ich weiß aus Erfahrung, dass es manchmal garnicht leicht ist, die Frage überhaupt korrekt zu stellen. Da ist die Mathematik pingelig.

Also wie wurde die Rechnung angegangen ?

Wir haben zwei Brüche mit verschiedenen Nennern. Diese werden auf einen gemeinsamen Nenner gebracht.

Beispiel:

a/b - c/d = ?

Ein gemeinsamer Nenner, der immer funktioniert, ist das Produkt der beiden Nenner, also b•d.

Da bei a/b  das b schon im Nenner steht, wird dieser Bruch mit d
erweitert, und der Bruch c/d , der d schon im Nenner hat, wird mit b
erweitert :

(*)  a/b - c/d = (a•d)/(b•d) - (c•b)/(b•d)

Nun ist bei beiden Brüchen der Nenner gleich (nämlich bd), also kann man sie mit gemeinsamen Nenner schreiben und subtrahieren:

(a•d)/(b•d) - (c•b)/(b•d) = (ad - cb)/(bd)

Genauso wurde bei dem Term oben vorgegangen.

Wenn du

a= x³, b= (x²+x+1), c= (x²+1) und d = x

setzt, dann bekommst du genau die Rechnung, die oben gemacht wurde.

Im Zähler verschwindet dann das x⁴, weil x⁴ - x⁴ = 0,
das -x² kommt 2-mal vor, also -2x² usw.

Um damit besser klarzukommen, schau dir am besten nochmal das Kapitel der Bruchrechnung an: Brüche addieren, multiplizieren, dividieren, kürzen, auf gemeinsame Nenner bringen.

Wenn du das Thema mit Zahlen beherrscht, dann kannst du zu Variablen übergehen, also mit Buchstaben rechnen, im Prinzip ist das das Gleiche.

Dann solltest du dir das Kapitel Potenzrechnung anschauen, wie z.B.
aᵐ • aⁿ = aᵐ⁺ⁿ, aᵐ / aⁿ = aᵐ⁻ⁿ.

Die wurden zum Schluss bei der limes-Berechnung angewendet:

Zähler und Nenner des Bruches wurde durch x³ dividiert, bzw.
Zähler und Nenner des Bruches wurde mit x⁻³ multipliziert.

(x³ ist die höchste Potenz, die im Zähler und Nenner vorkommt)

Dadurch wird der Bruch nicht verändert.

Das macht man, weil man sonst nicht weiß, was der Grenzwert ist.

Bei Brüchen wie Zahl / x³ , Zahl / x², Zahl / x weiß man, dass die gegen Null gehen, wenn x gegen + oder - Unendlich geht.

So bleibt beim Grenzübergang nur noch die -1 im Zähler und die 1 im Nenner stehen, also -1/1 und das ist -1.

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@eddiefox

Vielen dank für die Mühe, hat mir beim Verstehen solcher mathematischen Probleme sehr weitergeholfen

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würde dir gerne helfen, aber das mcht alles keinen Sinn;

meinst du

x³/(x²+x+1) -( x² + 1/x )    und x gegen unendlich?

lim bei x geht gegen unendlich, gegeben ist
(x³/x²+x+1)-(x²+1/x)

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meinst du beim 2. Term

x² + 1/x

oder

(x²+1)/x

?

Zweiter Term ist falsch, ich meine die zweite Gleichung.

Und genauer den Zähler der zweiten Gleichung.

Ich habe keine Ahnung wie man von Gleichung 1 zur Gleichung 2 kommt.

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