Graph der Funktion f mit f(x) = x^4 hat nur einen einzigen Extrempunkt?

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3 Antworten

In einer Umgebung von x0=0 ist jeder Funktionswert f(x) mit x≠0 echt größer als 0, also handelt es sich um ein Minimum. Als Umgebung kann man hier sogar ganz ℝ nehmen.

Wenn du die Ableitungen verwenden willst - was möglich ist, da die Funktion hinreichend oft differenzierbar ist -:

Kandidaten für Extrema: Stellen mit verschwindender 1. Ableitung

Hier kommt nur die 0 infrage.

Dann berechnen wir nacheinander die Werte der Ableitungen höherer Ordnung an dieser Stelle und schauen nach, ob die Ordnung der ersten nichtverschwindenden Ableitung gerade oder ungerade ist.

Die 2. Ableitung existiert an der Stelle 0 und f''(0) = 0, also noch keine Entscheidung möglich

die 3. Ableitung existiert an der Stelle 0 und f'''(0) = 0, also noch  keine Entscheidung möglich

die 4. Ableitung existiert an der Stelle 0 und f''''(0) = 24 > 0, also können wir eine Aussage treffen.

Die Ordnung dieser Ableitung (4) ist gerade, es handelt sich also um ein Extremum.

Der Wert der Ableitung an dieser Stelle ist positiv, also ist das Extremum ein Minimum.

Das ist ein Tiefpunkt, ansonsten müsste ein negativer Faktor vor dem x stehen.

Schau Dir den Wert der 2. Ableitung am Extrempunkt an. :)

Oder zeichne die Kurve mal auf.

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