Gradzahl in Bogenmaß umrechnen

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5 Antworten

Dir hilft wahrscheinlich am meisten zu verstehen, wie ein Bogenmaß zustande kommt, und warum es überhaupt so heißt wie es heißt.


A. (Ein geeignetes Bild für das Folgende findest du in >http://de.wikipedia.org/wiki/Kreisbogen). Die Spitze des Winkels α ein liegt im Mittelpunkt M des Kreises. Die beiden Punkte, in denen die Schenkel des Winkels den Umfang u des Kreises schneiden, seien A und B. Dann sind die Strecken MA und MB Kreisradien ("r" in der Zeichnung bei Wikipedia) Die Teilmenge von u, die zusammen mit M, den Radien ein "Kuchenstück" ( = Kreissektor) begrenzt, heißt Kreisbogen b zu α (rot in der Zeichnung).

u hat nach der Formel für den Kreisumfang die Länge 2 π r. Aus dem Bild ersiehst du folgenden Zusammenhang:

  • Kreisbogen b (rot) / Kreisumfang 2 π r (ingesamt, also rot und grau zusammen) =

(α im Gradmaß) / Vollwinkel 360°; (1)

  • das Zeichen " / " in dieser Gleichung kann

"verhält sich zu ... wie"

gelesen werden, oder rechnerisch als Bruchstrich.


B. Wenn der Radius r eines Kreises bekannt ist, gehört nach (1) zu jedem Winkel α genau ein Kreisbogen b. Besonders einfach ist der Zusammenhang, wenn du einen Kreis mit dem Radius r = 1 betrachtest. Den Kreisbogen im Einheitskreis nenne ich x, um ihn vom Kreisbogen b des allgemeinen Kreises (mit Radius r) zu unterscheiden. Dann kann der Zusammenhang (1):

b / (2 r π ) = (α im Gradmaß) / 360°

vereinfacht werden zu:

x / (2 π ) = (α im Gradmaß) / 360°. (2) | * 2 π

Diese Gleichung lässt sich nach x umstellen:

x = (α im Gradmaß) * 2 π / 360°; | 2 kürzen

x = (α im Gradmaß) * π / 180°

Zu jedem Winkel α gehört also genau ein Kreisbogen x des Einheitskreises. Daher kannst du auch den Kreisbogen x als alternatives Winkelmaß für den Winkel α benutzen. Dann liefert die die letzte Gleichung die Umrechnungsformel:

α im Bogenmaß = (α im Gradmaß) * π / 180°

Merke: Das Bogenmaß eines Winkels α bedeutet geometrisch einen Kreisbogen x des Einheitskreises.


C. Zusammenhang mit deiner Formel

Du kannst in die Zeichnung wie in A. (anschaulich mit mit "großem" Radius r > 1) zusätzlich einen Einheitskreis einzeichnen. Daraus lässt sich ersehen:

Kreisbogen b / Kreisumfang 2 π r

Kreisbogen im Einheitskreis / Umfang des Einheitskresis =

Winkel α im Bogenmaß / Umfang des Einheitskresis =

α im Bogenmaß / ( 2 π) ;

in eine Zeile geschrieben:

b / (2 π r) = α im Bogenmaß / ( 2 π) ; | * 2 π

b / r = α im Bogenmaß ( = deine Formel)

Lieber Flamingimpera, diese Frage ist so elementar, dass sie eigentlich von verständnisvollen Supervisern längst hätte gelöscht werden müssen. Das ist Dreisatz: 360 Grad entspricht 2 Pi. X Grad entspricht wieviel: also 360 Grad / 2 Pi und das Ergebnis mal x. Logischer weise teilt man die 360 durch 2 (wegen der 2 beim Pi) und erhält dann allgemein: 180/pi und das Ganze mal x Grad gibt das Ergebnis im Bogenmass.

psychironiker 23.08.2013, 13:28

Erstens zwingt dich niemand zu antworten, wenn du das nicht willst.

Zweitens gehst du nicht auf die gestellte Frage ein, bemerkst daher den Irrtum nicht dem die / der Fragesteller(in) unterliegt, achtest seine / ihre Mühe nicht und nimmst das Problem nicht war.

Drittens ist ein Dreisatz nicht erforderlich, um das zu Problem zu lösen (eine Verhältnisgleichung reicht aus).

Viertens ist die Form der Darstellung sehr unübersichtlich, die grammtischen Beziehungen mehrdeutig ("das Ergebnis mal x": Von welchem Ergebnis ist die Rede?), das Ganze mithin nicht geeignet, die richtige Vorgehensweise jemanden zu erklären, der es nicht weiß. Es ist kein Zufall, wenn Gleichungen als Gleichungen geschrieben werden.

Fünftes ist schlimm genug, dass der Anbieter dieser Plattform meint, Denk-Zensoren zu benötigen. Ich empfinde dies als ein Angriff die freiheitliche Verfasstheit des Gemeinwesens, dem ich angehöre. (Als ob nicht die Beantwortenden selbst entscheiden könnten, was sie wie beantworten.) Was qualiifiziert in Anbetracht der Punkte 1. - 4. nun ausgerechnet dich zu dieser Vorgehensweise? - Nun?

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gh7401 23.08.2013, 23:56
@psychironiker

... "Als ob nicht die Beantwortenden selbst entscheiden könnten, was sie wie beantworten." ... Mehr habe ich nicht gemacht. Ich bin kein Lehrer. Es wundert mich immer wieder, dass die Schüler die elementarste Weisheit nicht gelehrt wird: Eine physikalische Grösse besteht aus Masszahl und Einheit. Aus der Gleichheit 360 ° = 2 * Pi rad kann man eine 1 gewinnen: 1 = 360° / 2 * Pi rad oder auch den Kehrwert, 1 = 2 * Pi rad / 360° (der Kehrwert von 1 ist ebenfalls eins). Je nach dem was man umrechnen will,schreibt man die passende 1, die im Zähler die Einheit hat, in die man umrechnen will und im Nenner diejenige, die umgerechnet werden soll, diese umzurechnende kürzt sich dann heraus. Z.B. die beliebten 80°: 80° * 1 = 80 °

Hier schieben wir folgende 1 ein: 1 = 2 * Pi rad / 360°

Also 80° * (2 * Pi rad / 360°) = 160 / 360 rad. Die Einheit ° kürzt sich heraus.

Da mich die Notation hier in diesem Parser nervt, schreibe ich das eigentlich lieber verbal hin.

So sieht das aus im Original: Also 80° * **** (2 * Pi rad / 360°) ** = 160 / 360 rad.

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gh7401 24.08.2013, 00:03
@psychironiker

"Was qualiifiziert in Anbetracht der Punkte 1. - 4. nun ausgerechnet dich zu dieser Vorgehensweise? - Nun?" Nach deiner Qualifikation hatte ich nicht gefragt und werde es auch nicht tun.

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Ohne Radius nicht möglich, da das Bogenmaß bei gegebenem Winkel direkt vom Radius abhängig ist …

messer78 22.08.2013, 21:45

Falsch, meine Antwort ignorieren ;)

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180 Grad ist Pi. 360 Grad sind 2 Pi Wo ist die Schwierigkeit?

FlamingImpera 22.08.2013, 21:44

80 Grad ist dann wieviel? Sorry, bei Pi und 2 Pi versteh ichs ja auch noch, aber bei 80 Grad kann ich das schlecht im Kopf umrechnen oder? Bin auch schon wieder seit drei Stunden am Rechnen, evtl. sollte ich mal 'ne Pause einlegen...

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FlamingImpera 22.08.2013, 21:50
@messer78

Achso danke.. Aber das gilt jetzt nicht nur für den Einheitskreis, richtig?

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Pandur11 22.08.2013, 21:55
@FlamingImpera

80 Grad sind 0.44444444 pi.

Di weisst ja, dass 180 Grad Pi ist. 80 Grad sind 8/18 von 180. Das ist also umgerechnet 4/9 von Pi. Und das schafft man doch noch gut im Kopf. Du weisst auch, dass Pi 3.1415926 ist. Du musst also 0.44444 mal 3.1415926 rechnen. Im Kopf ist das nicht so einfach, kommste aber auf gerundete 1.4. (1.3962)

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messer78 22.08.2013, 22:03
@FlamingImpera

nein, für jeden Kreis, da das Bogenmaß nur eine andere Art ist, einen Winkel zu beschreiben …

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hi, das geht ohne radius nur beim einheitskreis, d.h. bei einem kreis wo der radius 1 beträgt

überleg mal, wenn du einen kreis hast und von diesem den umfang (2pi r) nimmst du den umfang einfach mal alpha/360Grad...

Also ohne radius nur beim Einheitskreis möglich

FlamingImpera 22.08.2013, 21:46

Also, die Aufgabestellung ist: "Ein Winkel beträgt 80°. Wandeln Sie den Wert in die Radiant-Einheit um." Da steht nichts von 'nem Einheitskreis, oder meinst du das ist so gemeint?

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