Grad der Funktion = maximale Anzahl an Nullstelle - Mathematik, EF

3 Antworten

Vom Fragesteller als hilfreich ausgezeichnet

Das ist ziemlich einfach zu beweisen, wenn man in der Schule die Linearfaktoren einer Funktion kennengelernt hat.
(x - Nullstelle) ist so ein LF. Wenn du sie miteinander multiplizierst, entsteht genau der Grad der gesuchten Funktion.
In Termen z.B. für den 3. Grad:
(x - x1) * (x - x2) * (x - x3) = x³ + .... ... ... + x1x2x3
Die xn sind dabei die Nullstellen.
Als Produkt sind sie alle im Absoliutglied versammlet.

danke!! ich stand voll auf dem Schlauch. Linearfaktorzerlegung war mit bewusst, aber nicht bewusst bewusst :D , danke für auf die sprünge helfen :)

1

Da rechts eine Null steht, kann man daran auch ersehen, dass die Menge der Nullstellen und auch ihre Position dieselbe ist, wenn man so eine Funktion noch mit einem a durchmultipliziert und damit einen Koeffizienten vor x^n erzeugt.

1

Volens, Du hast nur gezeigt, dass es zu n Nullstellen ein Polynom n-ten Grades gibt, das mindestens diese Nullstellen hat. f(x) = 0 kann das übrigens auch. Aber vielleicht hat ja auch irgendein Polynom geringeren Grades genau diese n Nullstellen? annaf23 vermutet: "Nein".

Ich behaupte mal frech: Es gibt ein Polynom vom Grad 10000, das hat 10001 verschiedene reellwertige Nullstellen; aber der Platz hier reicht leider nicht aus, um es vollständig aufzuschreiben :-P

1
@ralphdieter

@ralphdieter:
Listiger Ansatz! ^ ^
Es würde bedeuten, dass du unter den 10.000 Linearfaktoren (und mehr schafft du ja bei Multiplikation nicht) mindestens einen findest, der zwei Nullstellen hat, Sämtliche Linearfaktoren sind durch lineare Gleichungen repräsentiert, die eine und nur genau eine Lösung haben, - auch ein eventueller LF (x - 0).

0

Das ist auch als "Satz von Vieta" bekannt :-)

Gute Antwort, Volens

1

Beweisskizze: Schau dir das Verhalten der Funktion (bzw. den Limes) in Richtung unendlich und minus undenlich an. Du wirst feststellen, dass Polynome mit geraden höchsten Exponenten in beiden Richtungen gegen unendlich streben. Damit kann man keine Aussagen über eventuelle Nullstellen machen. Polynome mit ungeradem höchstem Exponent gehen in der negativen x-Richtung aber im Limes gegen minus unendlich. Das heisst (wenn man annimmt, dass die Funktion stetig ist): Sie muss, um von minus unendlich nach unendlich zu kommen, irgendwo die x-Achse kreuzen, mindestens einmal. Also hast du mindestens eine Nullstelle.

Zusatz zu Polynomen mit geradem höchstem Grad: Nimm irgendein Beispiel für ein ein gerades Polynom mit keiner Nullstelle (z.b. x^2+1). Damit hast du gezeigt, dass es ein solches gibt. Eine negative Anzahl Nullstellen ist nicht möglich, also hast du mindestens 0 Nullstellen. Das ist eine ziemlich triviale Feststellung, für einen vollständigen Beweis deines Satzes ist es aber nötig, das festzustellen.

0

Was möchtest Du wissen?