Gleichungssysteme mit drei brauche hilfe variablen?

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7 Antworten

Wir betrachten nur die Koeffizienten und schreiben diese in eine Matrix. Das Ziel ist es, dass im unteren Dreieck der Matrix nur noch 0en stehen. Dazu multiplizieren und addieren wir die 3 Zeilen der Matrix geschickt:

( 1 2 3 | 16 )
( 2 1 4 | 19 )
( 3 4 1 | 26 )

2. Zeile =2*1.Zeile-2. Zeile; 3. Zeile = 3*1.Zeile-3.Zeile 

( 1 2 3 | 16 )
( 0 3 2 | 13 )
( 0 2 8 | 22 )

3.Zeile =-2*2.Zeile+3*3.Zeile

( 1 2 3 | 16 )
( 0 3 2 | 13 )
( 0 0 20 |40 )

Jetzt haben wir eine Matrix in Dreiecksform und lösen von unten nach oben auf und setzen dabei die schon ermittelten Werte ein.

20z = 40 | :20
z = 2

3y + 2z = 3y+2*2 = 3y+4=13 |-4
3y = 9 | :3
y = 3

x+2y+3z = x+2*3+3*2 = x+6+6=x+12=16 |-12
x=4

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Die musst du alle nach einer Variable umstellen und ineinander einsetzen. Zum Beispiel indem du die erste nach x umstellst (x=16-2y-3z) und dann in die zweite für das x diesen Term einsetzt. Dann stellst du die zweite Gleichung genauso nach y um (ist praktischerweise auch schon fast isoliert) und setzt den Term in die dritte Gleichung ein, sodass du nur noch z als Variable hast. Das rechnest du dann aus und erhältst z.

Und dann geht die ganze Sache rückwärts: Das ausgerechnete z in die umgeformte zweite Gleichung einsetzen und y ausrechnen. Und dann mit den ausgerechneten z und y die erste Gleichung einsetzen und x ausrechnen. 

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x = 16 - 2 y - 3 z ( 1. Gleichung )

Das setzt du in die anderen beiden Gleichungen für x ein.

Dann hast du nur noch 2 Gleichungen mit 2 Unbekannten.

Davon löst du eine nach y auf und setzt sie in die andere ein und schon hast du nur noch eine Unbekannte.

Wo liegt das Problem ?

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Lösung mit meinen Graphikrechner (Casio) x=4 und y=3 und z=2

In "Handarbeit" löst man das mit den 2 Methoden,die im Mathe-Formelbuch stehen.

1. "Additionsverfahren"

2. "Gleichsetzverfahren"

3. "Substitutionsverfahren"

4. "Gaußscher Algorithmus"

HINWEIS : Mit der Lösung,kannst du jeden deiner Rechenschritte überprüfen,ob ein Fehler vorliegt.Setze einfach die Werte ein und rechne die Gleichung aus. 

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Machst du das mit Matrix oder mit Additionsverfahren direkt?
Im zweiten Fall muss man immer daran denken, zunächst 2 Systeme mit 2 Unbekannten zu erzeugen. Guck mal hier:

http://dieter-online.de.tl/Additionsverfahren-d--3-Unbekannte--k1-LGS-k2-.htm

Wenn es noch etwas zu fragen gibt, frag in einem Kommentar.
Das Gaußverfahren mache ich übrigens auch nicht so ganz auf die Schnelle und, wie ich meine, etwas klarer.

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Kommentar von Volens
15.10.2016, 00:58

Hier die Matrixvariante, wie ich es mache. Dann brauche ich, wenn du dich doch noch meldest, den Zettel nicht aus dem Papierkorb zu fischen.

1  2  3  |  16      | *6             Durch diese Vorbereitung bekomme 
2  1  4  |  19      | *(-3)          ich das 1. Element in Reihe 2 und
3  4  1  |  26      | *(-2)         Reihe 3 auf 0.

                                           Gleichzeitig vermeide ich diese krude
                                           Kopfrechnung, gleichzeitig die Elemente
                                           zweier Reihen zu multiplizieren und
                                           zu addieren. 

 6 12 18  | 96    | 1. Reihe übernehmen
-6 -3 -12 | -57   I  I+II in die 2. Reihe addieren
-6 -8  -2  | -52   |  I+III in die 3. Reihe addieren

6 12 18  |  96   |  übernehmen
0   9   6  |  39   | *(4)      Das zweite Element der 3. Reihe auf 0
0   4 16  |  44   | *(-9)

6  12  18  |    96     |  übernehmen
0  36  24  |   158    |  übernehmen
0 -36 -144|  -396   |  II+III in die 3. Reihe addieren

6 12  18  |   96          Hier könnte man in einem Extra-Gang kürzen,
0 36  24  |  156         um die Zahlen kleiner zu kriegen. Aber
0  0 -120 | -240         man nimmt ohnehin den Taschenrechner.

Unmittelbar zu sehen ist -120 z = 240  | /(-120)
                                                z =     2
                             
aus dem 3. Block         9 y + 12 = 39
                                                y =  3

1. Zeile                        x + 6 + 6  =  16
                                                x  =    4

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Hier ein Kanal auf Youtube, hat mir bei meiner Mathe Prüfung echt geholfen der Kanal 

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x=4

y=3

z=2

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