Gleichungssysteme mit 3 Variablen lösen

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4 Antworten

Also ich habs mal durchgerechnet. Entweder habe ich oder du in deiner Version einen Vorzeichenfehler gemacht, den ich aber jetzt nicht finde. Aber ich denke, ich antworte dir jetzt trotzdem, da es ja darum geht, den Weg zu verstehen.

Ich habs mal nach der Methode gerechnet, die da auch verwendet wurde, aber es etwas anders geschrieben, so daß es übersichtlich er ist:

Zum Lösen eines Gleichungssystems mit drei unbekannten, mußt du drei Gleichungen hinbekommen, von denen eine nur noch 1 Variable hat. Eine aus zwei Variablen besteht und eine kann noch alle drei Variablen haben.

Gehen wir mal einen Schritt zurück. Stell dir ein Gleichungssystem mit zwei unbekannten vor. Da machst du es ja auch so, daß du eine Gleichung haben willst, die aus nur einer Variablen besteht. Du kannst die Gleichungen gleichsetzen, addieren, eine in die andere einsetzen usw. Dann hast du eine Gleichung mit einer Unbekannten und kannst nach der auflösen und was du dann raushast, in eine der Gleichungen mit den zwei Unbekannten (also eine der urspünglichen Gleichungen) einsetzen.

Nach dem gleichen Verfahren kannst du es auch bei drei Unbekannten machen. Du sorgst dafür, daß du zwei Gleichungen erhältst, bei denen dieselbe Variable weggefallen ist. Und mit diesen beiden Gleichungen machst du wiederum etwas, das eine weitere Variable wegfällt. Dann kannst du die Gleichung mit nur noch einer Variablen auflösen, dies in eine der vorherigen Gleichungen mit den zwei Variablen einsetzen und nach der noch unbekannten Variablen auflösen. Und dann kannst du beides in eine der Urspünglichen Gleichungen einsetzen.

Ich versuche es mal mit deinem Beispiel. Mit etwas Glück kann ich sogar den Weg nachvollziehen, den dein Lehrer verwendet hat:

I.) x - 4y + 2z = -6

II.) 2x + 3y + z = 5

III.) -3x + 6y + z = -2

So wie ich das sehe, wurden im ersten Schritt das x beseitigt. Dazu formst du einfach die erste Gleichung einmal so um, daß es wegfällt, wenn du es mit der 2. Gleichung addierst oder subraphiest und einmal so, daß es wegfällt, wenn du es mit der 3. Gleichung addierst oder subtrahierst.

Also die erste Gleichung formst du um in 2x – 8y + 4z = -12 (hab die Gleichung einfach mal 2 genommen)

So 1. Gleichung minus 2. Gleichung nenne ich zur leichteren Überischt jetzt mal IV.

IV.) - 11y - 3z= - 17 (oder die Gleichung mal -1 entspricht dem, was du da stehen hast: 11y + 3z = 17)

Dann formst du einfach noch mal die erste Gleichung um (Diesmal mit 3 multiplizieren). Also in 3x - 12y + 6z = -18

Dann diese zur 3. Gleichung addieren. Ich nenne sie jetzt V.

V.) - 6y + 7z= - 20

So nun arbeitest du mit den Gleichungen, die ich mit IV und V gekennzeichnet habe. Da muß auch eine Variable wegfallen. Lassen wir mal das y wegfallen. Nimm die IV. Gleichung mal 6 und die V. mal 11. Dann lautet die IV. Gleichung - 66y - 18z = - 102 und die V. Gleichung - 66y - 77z = – 220

Du subtrahierst jetzt mal die 4. Gleichung von der 5. Die neue Gleichung nenne ich jetzt VI.

VI.) – 59z = -118

So jetzt wirst du verstehen, warum ich der Einfachheit halber jeder neu entstandenen Gleichung eine neue Nummer gegeben habe. Du Arbeitest jetzt mit den Gleichungen I oder II oder III, IV oder V und VI. Nehmen wir mal I, IV und VI.

I.) x - 4y + 2z = -6

IV.) 11y + 3z = 17

VI.) 59z=118

Jetzt einfach von unten nach oben arbeiten.

VI.) z = 2 (in IV einsetzten)

IV.) 11y + 6 = 17 --> also y = 1 und nun y und z in die I. einsetzen

I) x – 4 + 4 = - 6 --> also x = - 6

Walto 28.01.2014, 21:50

Ich fürchte, du hast dich verrechnet. Du hast geschrieben:

I.) x - 4y + 2z = -6
II.) 2x + 3y + z = 5
III.) -3x + 6y + z = -2

So wie ich das sehe, wurden im ersten Schritt das x beseitigt. Dazu formst du einfach die erste Gleichung einmal so um, daß es wegfällt, wenn du es mit der 2. Gleichung addierst oder subraphiest und einmal so, daß es wegfällt, wenn du es mit der 3. Gleichung addierst oder subtrahierst.
Also die erste Gleichung formst du um in 2x – 8y + 4z = -12 (hab die Gleichung einfach mal 2 genommen)
So 1. Gleichung minus 2. Gleichung nenne ich zur leichteren Überischt jetzt mal IV.

IV.) - 11y - 3z= - 17 (oder die Gleichung mal -1 entspricht dem, was du da stehen hast: 11y + 3z = 17)

Bei IV müßte folgendes herauskommen:

2x – 8y + 4z = -12

II.) 2x + 3y + z = 5

Ergibt

IV.) -11y+3z=-17

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DerTroll 29.01.2014, 17:05
@Walto

Danke, hatte ja schon geschrieben, daß ich irgendwo einen Fehler gemacht haben muß, hab den nur nicht gefunden.

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wenn du 2 Gleichungen mit Addi. lösen kannst, dann ist das hier auch nicht schwerer;

wichtig ist . 2 mal die gleich Unbekannte rauswerfen;

hier bietet sich am besten an, 2 mal das z zu eliminieren, dann hast du noch 2 Gleichungen mit x und y

kannst ja deinen eigenen Weg finden

xLukas123 28.01.2014, 18:17

Würde das gerne so lösen wie wir es immer im Unterricht gemacht hatten, nur hatte ich es da eben leider nicht direkt verstanden.

Weißt Du was die -2 mit der Aufgabe für einen Zusammenhang hat? (Siehe mein Text unten)

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Ellejolka 28.01.2014, 18:29
@xLukas123

der Lehrer hat die 1. Gleichung mit -2 malgenommen und zur 2. dann addiert; dann kam er zu 11y-3z=17 also (-2) * I + II

es ist allerdings schwerer rauszuknobeln , was der Lehrer gemacht hat, als eigenen Weg zu finden und Lösungen dann zu verglechen.

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Ich mach an die Beispielrechnung mal Kommentare heran, damit es klarer wird. (In dieser Form)

(Das ist die Aufgabenstellung: 3 Gleichungen mit 3 Unbekannten x,y,z - Klar!)

I.) 3x + 4y - 5z = 50

II.) 2y + 7z = 20

III.) 5z = 10

(Jetzt wird die 3. Gleichung bearbeitet: und zwar geteilt durch 5)

III.) z = 2

(Jetzt wird die z=2 eingesetzt in die 2. Gleichung)

II.) 2y + 7 * 2 = 20

(7*2=14 => 2y+14=20 /-14)

(2y=6 / :2)

y = 3

(Dann werden z und y eingesetzt)

I.) 3 * x + 4 * 3 - 5 * 2 = 50

(34=12, 52=10)

(/-12 /+10)

3x + 12 - 10 = 50

3x = 48

(/ :3)

x = 6

So ähnlich geht das für die anderen Gleichungen auch! Zuerst auflösen nach einer Variablen, dann einsetzen. Oder mit Additionsverfahren, Gleichsetzungsverfahren, die führen auch zum Ziel - wie Du es schon mit zwei Gleichungen gemacht hast.

xLukas123 29.01.2014, 18:38

Das weiß ich selber.. ich habe doch gesagt das es ein ganz einfaches Beispiel zu Beginn ist..

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