Gleichungssystem (technische Mechnik) lösen?

LGS - (Mathe, Mathematik, Studium)

3 Antworten

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Hier sieht man erstmal, dass es recht unwahrscheinlich ist, dass du das Gleichungssytem lösen kannst: Schließlich hast du 7 Unbekannte, aber nur 6 Gleichungen. Die Gleichung, die u mit (7) markiert hast, zählt ja nicht, weil diese ja keine "neue Information" ins System reinbringt, schließlich ist das nur die Kombination von Gleichung 5 und 6 (Die Gleichungen 5,6 und 7 sind also miteinander korreliert). Damit musst du entweder eine weitere Gleichung finden, oder eine Unbekannte als bekannt voraussetzen 8bzw. die Ergebnisse in Abhängigkeit dieser Angeben) oder aber es küzt sich noch eine Unbekannte heraus. Letzteres kann hier jedoch nicht der Fall sein, weil es sich um ein Lineares System handelt (siehe unten), damit hättest du hier ohne weitere Maßnahmen auf jeden Fallein unterbestimmtes Gleichungssystem mit (eindimensional) unendlich vielen Lösungen.

Was mich hier noch verwundert: Es kommen die zeitlichen Ableitungen mehrere Größen vor, unter anderem von x1 und x2. Hier sind interessanterweise die zweiten Ableitungen bei den Unbekannten aufgelsitet, die ersten Ableitungen dagegen nicht. Da stellt sich mir die Frage, ob diese somit gegeben sind? Dann könnte man ja die zweiten Ableitungen einfach durch Ableiten finden. Entsprechend könnte man bei w1 und w2 vorgehen. Wenn diese eigentlich auch Unbekannte sind, dann hat man ja eigentlich ein DAE (Differential-Algebraisches System, wobei es hier vor allem drauf ankommt, das man Differentialgleichungen hat). Dann wäre auch die Frage bzgl. Der Unbekanntenanzahl anders, weil schließlich erste und zweite Ableitung zusammenhängen, aber bspw. die Anfangswerte oder irgendwelche Randwerte benötigt werden. Egal wie, du scheinst hier auf jeden Fall dein Gleichungssysm nochmals genau überprüfen zu müssen und nochmal nachschauen, ob du alles berücksichtigt hast.

Sonst allgemeiner (Ich gehe jetzt davon aus, dass man ein "normales", d.h. ein algebraisches Gleichungssystem hat, mit genügend Gleichungen): Dann benötigt man letztlich immer ERfahrungf um die richtige Vorgehensweise zu überlegen. Hilfreich kann sein, wenn man sich erstmal Gedanken zum Typ des Gleichungssystems macht. In diesem Fall sieht man: Bezüglich der Unbekannten ist das Gleichungssystem linear. Damit könnte man bspw. systematisch mit dem Gauß-Algorithmnus rangehen. Zielführendeer dürte hier jedoch ein gezieltes Vorgehen sein, indem man zunächst die Gleichungen mit möglichst wenigen Unbekannten (am besten nur eine) rauspickt und diese so nach einer Vriablen löst, dass das Ergbenis möglichst einfach ist. Dann diese Variablke in allen andern Gleichungen substituieren und so weitermachen. Das an diesem Besipiel zu zeigen ist leider nicht so leicht, weil jetzt nicht klar ist wie mit den Differntialgleichungen umgegangen werden sol.

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Hab vergessen, dass die Kraft F als gegeben angesehen werden kann!

Das mit den Ableitungen habe ich bewusst so hingeschrieben, da es ja einfach leichtes ableiten ist.

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@Bottrocker

Du hast recht, mir ist beim ersten Durchlesen nicht aufgefallen, dass man durch einfaches Ableiten von Gleichung 5 und 6 nur noch erste Ableitungen von w1 und w2, bzw. nur noch zweite Ableitungen von x1 und x2 hat und damit das Ganze wirklich ein "normales" algebraisches System ist. Aber das zu lösen soltle eigentlich kein großes Problem sein. z.B. so (Der Einfachheit halber geh ich davon aus, dass Gleichung 5 und 6 einmal abgeleitet wurden und lass die Punkte für die zweiten Ableitungen von x1 und x2 bztw. die ersten Avleitungen von w1 und w2 einfach weg):

Also hast du schon x1 und x2 in Abhängigkeit von w1 dastehen, nämlich in Gleichung 5 und 6. Also damit einfach überall x1 und x2 substituieren. Somit hat man noch vier Gleichungen mit den Unbekannten w1, w2, R und S. Und man sieht gleich, das die ganz nett strukturiert sind: In Gleichung 4 wird ein direkter Zusammenhang zwischen R und w2 gegeben, d.h. wenn eins davon bekannt ist, ist damit auch das andere beakannt. Außerdem bilden Gleichung 1 und 2 ein "Teilgelichungssystem", denn hier stehen jetzt nur noch die Unbekannten w1 und S, d.h. zwei lineare Gleichungen mit zwei Unbekannten--> Das sollte kein Problem sein. Damit ist der Rest um das Problem zu lösen: Aus (1) und (2) S und w1 bestimmen (Dein Aufschrieb scheint so, dass du nur in x1 interessier bist, falls ja, kannst du jetzt schon aufhören, weil du ja mit w1 und Gleichung 5 x1 angeben kannst). Jetzt w1 in Gleichung 3 esinetzen. Dann sieht man, das Gleichung 3 und 4 auch ein Teilgleichungssystem bilden, das kann man auh sehr einfach lösen (am besten Gleichung 4 (also den Ausdruck für R) in Gleichung drei esinetzen und nach der einzigen Unbekannten (w2) auflösen. Fertig. Evtl. sind duie Ausdrücke länglich, aber sicher nicht wirkjlich kompliziert.

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@arrgh

Stimmt! Danke sehr. Wahrscheinlich fehlt mir da ein wenig die Ehrfahrung und das "mathematische Auge"!

Daher finde ich es gut, dass das Umformen in der Klausur die wenigsten Punkte gibt :D

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sieht mir doch sehr stark nach differenzialgleichungen aus, da kannst du natuerlich nicht einfach nur umstellen. Schau dir mal den anfangsstoff zum lösen von homogenen differentialgleichungen mit konstanten koeffizienten an.

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