Gleichungssystem lösen (funktion 3. Grades)?

3 Antworten

Hallo emrauzun20. 

Deine Funktionsgleichung ist leider falsch. Wenn du dir den Graphen einmal zeichnen lässt, dann siehst du schon, dass der Graph gar nicht durch den Wendepunkt W(-2|2) geht. 

Zuerst suchst du dir aus der Steckbriefaufgabe die gegebenen Bedingungen für die Funktion raus. Wir wissen bereits, dass es eine Funktion dritten Grades ist. 

Der Graph einer ganzrationalen Funktion dritten Grades

Damit haben wir folgende allgemeine Funktionsgleichung:

f(x) = ax³ + bx² + cx + d

Heißt, wir brauchen 4 Bedingungen. 

geht durch den Ursprung

Heißt:

● f(0) = 0

hat in W(-2/2) eine Wendetangente mit der Steigung -3.

Heißt einmal, dass der Graph durch den Punkt W(-2|2) geht, also:

● f(-2) = 2

Nun die Bedingungen für den Wendepunkt selbst:

● f''(-2) = 0 

f'''(-2) ≠ 0

Falls du nicht verstehst, wieso das der Fall ist, schau dir nochmal die Berechnung des Wendepunktes an:

http://www.mathebibel.de/wendepunkt-berechnen

Und wir wissen, dass die Steigung dort -3 ist. Die Steigung gibt man mit der Ableitung an, somit ist die 1. Ableitung an der Stelle genau -3:

● f'(-2) = -3

Damit haben wir (über) vier Bedingungen herausgearbeitet.

_______________________________________________________

Nun müssen wir diese in die allgemeine Funktionsgleichung f(x)=ax³+bx²+cx+d einsetzten.

Legen wir los:

1. f(0) = 0

f(0) = a*0³ + b*0² + c*0 + d

► d = 0

Damit haben wir bereits die erste Unbekannte berechnet. Weiter geht's.

____________________________________________

2. f(-2) = 2

f(-2) = a*(-2)³ + b*(-2)² + c*(-2)

2 = a*(-8) + b*4 - 2c 

I. 2 = -8a + 4b - 2c

Das ist unsere erste Gleichung für das lineare Gleichungssystem (LGS).

Dabei habe ich den Buchstaben d von Anfang an weggelassen, da er ja gleich null und somit nicht mehr vorhanden ist.

____________________________________________

Für die nächste(n) Bedingung(en) berechnen wir nun erst einmal die beiden Ableitungsfunktionen:

f(x) = ax³ + bx² + cx + d

f'(x) = 3ax² + 2bx + c

f''(x) = 6ax + 2b

Nun setzten wir wieder ein.

3. f''(-2) = 0 

f''(-2) = 6a*(-2) + 2b

II. 0 = -12a + 2b

Das ist unsere zweite Gleichung für das lineare Gleichungssystem (LGS).

____________________________________________

4. f'(-2) = -3

f'(-2) = 3a*(-2)² + 2b*(-2) + c

III. -3 = 12a - 4b + c

Das ist unsere dritte Gleichung für das lineare Gleichungssystem (LGS).

Eine vierte brauchen wir nicht mehr, weil wir ja bereits d=0 berechnet haben. 

_______________________________________________________

Hier also nun unser lineares Gleichungssystem (LGS):

I.   2 = -8a + 4b - 2c

II.  0 = -12a + 2b

III. -3 = 12a - 4b + c

Dieses können wir nun u.a. mit dem Gauß-Algorithmus oder Taschenrechner lösen.

Hier die Lösungen:

► a = 0,5

► b = 3

► c = 3

► d = 0

Diese Buchstaben setzten wir nun in die allgemeine Funktionsgleichung einer Funktion dritten Grades f(x) = ax³ + bx² + cx + d ein. 

Daraus ergibt sich die folgende Funktion dritten Grades:

►►► f(x) = 0,5x³ + 3x² + 3x

Den Graphen der berechnete Funktion siehst du noch einmal im Bild. 

_______________________________________________________

Ich hoffe meine wertvoll investierte Zeit hat sich ausgezahlt und ich konnte dir helfen. Wenn noch Fragen bestehen, kannst du sie jederzeit stellen! :)

Liebe Grüße

TechnikSpezi

Graph der Funktion f(x) = 0,5x³ + 3x² + 3x - (Schule, Mathe, Mathematik)

Mann, mann, da hast Du ja echt viel wertvolle Zeit investiert.  Aber, liebe Emra Uzun, ein bisschen Hauisaufgaben solltest Du auch allein erledigen! Ich wünsche Dir noch knapp zwei Jahre erfolgreichen Matheunterricht und dann ein gutes Abitur. Lernen, lernen, lernen!!!

1

Wenn man mehrere Ableitungen an einer bestimmten Stelle hat, dafür aber nur einen einzigen Wert an einer anderen Stelle, ist die Rechnung von Hand oft einfacher, wenn man die Funktion in x-Richtung so verschiebt, dass die Stelle, für die die vielen Werte gegeben sind, in den Ursprung rutscht.

Hier:

g(x) := f(x-2)

f(x) = g(x+2)

Dann liegt die Schwierigkeit im Ausmultiplizieren von (x+2)^n bei der Rücktransformation, aber das ist eine Standardaufgabe.

1
@PWolff

Geht natürlich auch so. Ich verzichte aber gerne drauf und bleib bei meinem üblichen Weg ;)

0

f(x) = a * x ^ 3 + b * x ^ 2 + c * x + d

Die Funktion f(x) geht durch den Ursprung :

I.) a * 0 ^ 3 + b * 0 ^ 2 + c * 0 + d = 0

Dadurch lässt sich I.) sofort vereinfachen :

d = 0

Dadurch vereinfacht sich auch sofort die Funktion f(x)

f(x) = a * x ^ 3 + b * x ^ 2 + c * x

Die Funktion geht durch den Punkt (-2 | 2)

I.) a * (-2) ^ 3 + b * (-2) ^ 2 + c * (-2) = 2

Man leitet die Funktion f(x) jetzt ab :

f´(x) = 3 * a * x ^ 2 + 2 * b * x + c

f´´(x) = 6 * a * x + 2 * b

An einem Wendepunkt ist f´´(x) = 0

II.) 6 * a * (-2) + 2 * b = 0

Die Wendetangente hat die Steigung -3 dass bedeutet f´(-2) = -3

III.) 3 * a * (-2) ^ 2 + 2 * b * (-2) + c = -3

Nun hat man ein Gleichungssystem zusammen :

I.) a * (-2) ^ 3 + b * (-2) ^ 2 + c * (-2) = 2

II.) 6 * a * (-2) + 2 * b = 0

III.) 3 * a * (-2) ^ 2 + 2 * b * (-2) + c = -3

Wenn man das auflöst erhält man :

a = 1 / 2

b = 3

c = 3

Außerdem wussten wir ja bereits :

d = 0

Also lautet die Funktion f(x)

f(x) = (1 / 2) * x ^ 3 + 3 * x ^ 2 + 3 * x

hast du die Lösung gemacht? dann kannst du ne Probe machen;

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Mit freundlichen Grüßen

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