Gleichungen mit Parametern- bitte hilfe?

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8 Antworten

Breite = Länge + 4

Länge = ?

Fläche = 12

Wir wissen wie wir die Fläche eines Rechtecks berechnen, so gilt:

Fläche = Länge * Breite

Wir wissen, wie die Breite aussieht:

Fläche = Länge * (Länge + 4)

Ausmultiplizieren liefert dann:

Fläche = Länge² + 4Länge  II - Fläche

0 = Länge² + 4Länge - Fläche

Hierbei handelt es sich um eine Quadratische Gleichung, die Lösung können wir hier über die pq-Formel bestimmen:

Länge(1|2) = -2 +/- sqr(4 + Fläche)

Da die Länge größer gleich 0 sein soll, kommt nur der Fall mit dem + in Frage:

Länge = -2 + sqr(4* + Fläche)

Einsetzen der Werte liefert:

Länge = -2 + sqr(4 + 12) = -2 + sqr(16) = 2


Somit haben wir also die Lösung gefunden:

Länge = 2

Breite = 6

Fläche = 12

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Nun, die Formel für die Fläche eines Rechtecks kennst du wahrscheinlich: A=b*l. Nun weißt du noch, dass b=l+4 ist. Du kannst dieses b in die Flächengleichung einsetzen. Außerdem weißt du, dass A=12 ist, auch das kannst du einsetzen. Es bleibt nur eine Unbekannte in der Gleichung, l.

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Mit nachdenken.

In dem Fall: Fläche ist a*b. Da ich davon ausgehe dass ihr mit natürlichen Zahlen rechnet gibt es 3 Möglichkeiten die Fläche zu konstruieren: 1*12, 3*4 und 2*6. Berücksichtigen wir das b=l+1 ist kann es nur 2*6 sein, also ist die Breite 6 und die Länge 2.

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Du brauchst die Gleichung für den Flächeninhalt A eines Rechtsecks. Diese lautet A= l*b mit l=die Länge und b=die Breite. Außerdem hast du ein Verähltnis angegeben für l und b. Du weißt, dass b genauso lang ist wie l+4 (Längeneinheiten, meist abgelürzt LE, oder konkret z.B. in cm) du musst also b in die Gleichung für A einsetzen.

A=lb=l(l+4)=l²+4l also hast du gegeben 12=l²+4l das kannst du dann lösen, indem du das in die Normalform der quadratischen Gleichungen überführst, heißt, auf der linken Seite muss 0 stehen, wir subtrahieren also 12

0=l²+4l-12

Das kannst du dann mittels der sogenannten "p-q-Formel" ausrechen. Sie gilt ja für Gleichungen des Typs 0=x²+px+q in dem Fall ist p=4 und q=-12

Die p-q-Formel findest du in deinem Tafelwerk/Formelsammlung/Hefter/.... Jetzt musst du ja nur noch einsetzen ;)

Kleiner Hinweis noch. Eine quadratische Gleichung hat IMMER 2 Lösungen (diese können aber auch gleich sein, wodurch sie wie eine Lösung erscheinen). Du suchst hier aber eine LÄNGE und es kann KEINE negativen Längen geben. Das noch als kleiner Rat am Rande ;)

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Fläche A=b * l=(l+4)l=l²+4l

Für A=12 ist also 12=l²+4l

16=(l+2)²

l=2 oder l=-6

l=-6 fällt weg, da Längen von Rechtecken positiv sein müssen.

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A= l • b   (Fläche=länge mal breite)

für b einsetzen

12 = I • (I + 4)

12 = I² + 4I

I² - 4I - 12 = 0    jetzt pq-Formel

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Kommentar von Numberfocus
17.11.2016, 23:40

Wer fauel (wie ich im Unterricht) kann auch einfach so umstellen:

12 = I² + 4l

12 = I(I+4)

Hier einfach inhaltlich lösen.

I = 2

1

Ganz simpel: 

Die Fläche eines Rechtecks berechnet sich durch die Formel A=a*b

A und b sind gegeben, gesucht ist also l

12= l*(l+4)
12=l^2+4l
quadr. Funktion -> abc-Formel

l^2+4l-12= 0
l=2

Probe: 12=2*(2+4)
            12=12

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Nochmal extra, weil noch nicht ganz erwähnt.

Wenn Du die pq-Formel nicht verwenden willst, kannst Du sie auch durch inhaltliches Denken lösen.

48 = ab

b = a + 8

---

48 = a(a+8)

Hier schaust Du eben einfach was rein muss für a. 4 würde doch klappen, da 4 mal 12 = 48 ist. Fertig.

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