Gleichungen mit 2 Variablen durch Gleichsetzung lösen?

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5 Antworten

Hat man alles schön untereinanderstehen, bietet sich in der Regel das Additionsverfahren an. Dazu müsstest Du die zweite Gleichung mit 3 multiplizieren, damit in beiden Gleichungen 6x steht. Subtrahierst Du nun die zweite Gleichung von der ersten (oder die 1. von der 2.), dann verschwindet das x und y bleibt übrig.

(Beide linken Seiten gleich setzen, weil rechts die gleiche Zahl steht, geht im Grunde auch, aber es bleiben weiterhin beide Variablen übrig, und Du musst umstellen und dann einsetzen...)

Was hier nicht so angenehm wäre, ist das Einsetzungsverfahren, weil Du beim Umstellen auf egal welche Variable viele "ecklige" Brüche hättest...

Scheinbar bekommst du von deinem Lehrer aufgezwungen dein Beispiel mit dem Gleichsetzungsverfahren zu lösen :

I.) 6 * x - 5 * y = 42

II.) 2 * x + 3 * y = 42

Erst mal beide Gleichungen nach den Termen von x freistellen :

I.) 6 * x = 42 + 5 * y

II.) 2 * x = 42 - 3 * y

Nun Gleichung 2 mit 3 multiplizieren :

II.) 6 * x = 126 - 9 * y

Nun I.) und II.) gleichsetzen :

42 + 5 * y = 126 - 9 * y

Das nun nach y auflösen :

14 * y = 84

y = 6

Nun y in I.) oder II.) einsetzen :

6 * x = 42 + 5 * 6

6 * x = 72

x = 12

Lösung :

x = 12 und y = 6

ist egal, kannst du machen - viele Wege führen nach Rom (manche sind nur etwas länger). Aus

6x - 5y = 2x + 3y bekommt man dann

4x = 8y oder eben

2x = 4y und das wäre ein hervorragender Startpunkt für die 2. Gleichung, dann bekommt man aus dieser " y " raus.

UlrichNagel 17.05.2017, 18:59

Dieser "Weg" führt eben nicht nach Rom! Hier bekommst du keine konkrete Lösung!

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Rhenane 17.05.2017, 19:14
@UlrichNagel

Doch, auch dieser Weg führt ans Ziel; ersetzt man in Gleichung 2 die 2x durch 4y, bleibt y als Unbekannte übrig. Das kann nun leicht gelöst werden.

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Nein, in der Funktionslehre sollen die 2 "Verfahren" jeweils für die Reduzierung einer Variablen führen bis hin zu nur einer Variablen, denn nur mit dieser bestimmungsgleichung (keine Funktion mehr!) kann eine Lösung gefunden werden! Nur bei gleichgroßen Variablen verwendet man das Summenverfahren, da sich gleichgroße zu 0 aufheben! Ansonsten wird immer das Einsetzungsverfahren verwendet: Wenigstens eine Funktion muss für eine Variable aufgelöst sein (explizite Form). Deren Term wird für diese variable in der 2. Funktion eingesetzt und damit verschwindet diese Variable! Das sogenannte Gleichsetzungsverfahren ist das gleich Prinzip, nur dass eben beide Funktionen (unnützer Weise) nach der gleichen Variablen eliminiert wurden! Es bleibt trotzdem das  Einsetzungsverfahren!

I     6x - 5y = 42    | *1
II    2x + 3y = 42   | *(-3)

Das Gleichsetzungsverfahren nimmt man gewöhnlich nur dann, wenn gleiche Terme einer Unbekannten in beiden Gleichungen vorkommen, z.B. es hätte in beiden 5y gestanden.

Hier ist das Additionsverfahren am Platz, wobei x am schnellsten zu eliminieren ist. Gleichung I kann so bleiben; gleichung II multipliziert man am besten mit (-3). Das ergibt.

I      6x - 5y  =    42
II    -6x - 9y  = -126        addieren

I + II    -14y =   -84    | /(-14)
                y =    6

x bekommt man durch Einsetzen in eine der Originalgleichungen.

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