Gleichung und Abstand berechnen?

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2 Antworten

Hallo,

es geht auch etwas einfacher:

Du bestimmst aus den beiden Punkten A und B die Gerade g, indem Du z.B. den Vektor zu Punkt A (2/1) als Stützvektor und die Differenz der Punkte B-A, also (-3/-1)-(2/1)=(-5/-2)*r als Richtungsvektor nimmst.

Ein Vektor, der senkrecht auf dieser Geraden (2/1)+r*(-5/-2) steht, muß den Richtungsvektor (2/-5) haben, denn (-5/-2)*(2/-5)=-5*2+-2*-5=-10+10=0.

Wenn zwei Vektoren senkrecht aufeinanderstehen, ist ihr Skalarprodukt immer Null. Wenn Du noch Punkt C (-1/5) als Stützvektor nimmst und dem Richtungsvektor den Faktor s zugesellst, bekommst Du eine Gerade h, die senkrecht auf g steht und durch Punkt C geht:

h: (-1/5)+s*(2/-5)

Der Schnittpunkt dieser beiden Geraden ist der Punkt, der senkrecht unter C auf Gerade g liegt. Ihn bekommst Du, indem Du beide Geradengleichungen gleichsetzt und r und s berechnest.

(2/1)+r*(-5/-2)=(-1/5)+s*(2/-5)

So bekommst Du das Gleichungssystem:

-5r-2s=-3
-2r+5s=4

Dann ist r=7/29 und s=26/29.

Setzt Du r in g oder s in die Gleichung von h ein, bekommst Du den Schnittpunkt D (23/29|15/29).

Nun kannst Du den Vektor C-D bilden, also (-1|5)-(23/29|15/29):

(-52/29|130/29) und seinen Betrag bestimmen. Er ist die Wurzel aus
((-52/29)²+(130/29)²)=4,828

Das ist der Abstand zwischen dem Punkt C und der Geraden, die durch die Punkte A und B geht.

Herzliche Grüße,

Willy

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Da eine ähnliche Frage hier vor kurzem schon einmal gestellt wurde, hier meine damalige Antwort dazu, die sich auf das Problem der Abstandsbestimmung zwischen einer Funktion und einem Punkt bezog:

Also du hast M=(25 | 30) und die Funktion f(x) = 1/18x^2 -10/3x +50

gegeben. Nun sollte man sich zu Anfang erst einmal Gedanken machen, wie man denn den Abstand zweier Punkte im 2-Dimensionalen Raum bestimmen kann. Vereinfachen wir das Problem einfach mal auf die 2 Punkte P1 = ( a | b) und P2 = (c | d). c und a sind dabei die jeweiligen X-Werte und b und d die jeweiligen Y-Werte. Wir vereinfachen das Problem noch mehr und betrachten nur 1-D Entfernungen für die X und Y Dimension. 

X-Dimension: Wie groß ist der Abstand zwischen den beiden Punkten?

Es ist die Differenz aus beiden, man stelle sich hierzu eine Linie vor, auf dieser Linie liegen die beiden Punkte, so ist die Entfernung von den beiden zueinander doch die Differenz aus den beiden x-Werten, nennen wir es mal, da es sich ja um eine Differenz handelt, diese delta x und kürzen es mit einem dx ab. Es gilt also:

dx = c - a

Analog verfahren wir nun in der Y-Dimension:

dy = d - b

Was hat uns dass nun gebracht? Wir können diese Abstände in unser 2-Dimensionales Koordinatensystem übernehmen. Dabei ist der Abstand dx als eine parallele Gerade zur X-Achse mit Anfangspunkt in dem "linken Punkt" und der Länge dx einzuzeichnen. (Würdest du also die Y-Werte beider Punkte vernachlässigen hättest du wieder exakt die Darstellung in der X-Dimension)

Bei dem Abstand in Y-Richtung verfahren wir einfach analog, eine Gerade parallel zur Y-Achse mit der Länge dy und Anfangspunkt in dem "linken" Punkt.

Das heißt wir haben jetzt unsere eindimensionalen Verbindungslinien in das Koordinatensystem eingetragen ohne vorerst die jeweils andere Dimension zu berücksichtigen. Aber wir wollen ja den Abstand in 2-Dimensionen haben und wie du dir sicherlich denken kannst ist der kürzeste Abstand zwischen zwei Punkten eine Gerade. Zeichne nun eben diese Verbindung mal ein und wir die Länge von dieser nennen wir nun r, der kürzeste Abstand. Wie dir an diesem Punkt auffallen sollte, so bilden die Strecken dx, dy und r ein rechtwinkliges Dreieck. Mithilfe des Satzes vom Pythagoras sind wir nun in der Lage die Hypotenuse dieses rechtwinkligen Dreieckes, r, zu berechnen, da wir bei Ankatheten kennen. Daher lautet nun unsere Formel für den Abstand r:

r ² = dy² + dx²   II  (...)^(1/2)  (Quadratwurzel)

r = ( dy² + dx² )^(1/2)

Und damit haben wir unsere Formel zur Berechnung des Abstandes zweier Punkte hergeleitet. Durch einsetzen erhalten wir also:

r = ( (c - a)² + (d - b)² )^(1/2) 

Durch das Quadrat über dy und dx ist es nun übrigens vollkommen egal ob die Differenz der jeweiligen Werte positiv oder negativ sind. 

So nun wollen wir dies auf unser Endproblem, deine Aufgabe übertragen. Das heißt wir müssen nun zuerst mal dy und dx bestimmen. Dabei brauchen wir nur analog wie zuvor verfahren:

dx = c - a   II Differenz der X-Werte 

----> dx = x - 25   II Differenz der X-Werte der Punkte M und P = (x | f(x))

dy = d - b

----> dy = f(x) - 30 = 1/18x^2 -10/3x +50 - 30 = 1/18x^2 -10/3x + 20

Damit lautet also unsere Formel für den Abstand:

r = ( dy² + dx² )^(1/2) II  dx = x - 25

r = ( dy² + (x - 25)² )^(1/2)      II dy = 1/18x^2 -10/3x + 20

r = ( (1/18x^2 -10/3x + 20)² + (x - 25)² )^(1/2)

Das heißt wenn du von dieser Funktion des Abstandes r(x) das Minimum findest, bist du in der Lage den kürzesten Abstand zu berechnen.

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