Gleichung der Tangentialebene der Funktion f(x,y) = 2x^4y−x^2y^3.?

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Die Gleichung der Tangentialebene ist durch



gegeben. Wegen









erhält man im konkreten Fall die Gleichung



für die Tangentialebene an der Stelle (2, 2).

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Danke

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Hallo,

Du bestimmst den Gradienten, indem Du partiell nach x und y ableitest.

In den Gradienten setzt Du den Punkt (2|2) ein.

Dann gilt: grad (2;2)·[(x|y)-(2|)]=0

Ableitung nach x: 8x³y-2xy³
Ableitung nach y: 2x^4-3x²y²

Einsetzen von 2 für x und 2 für y ergibt (96/-16)

Der Gradient in P(2|2), also (96/-16) steht senkrecht auf der Tangentialebene.

Wenn Du also einen beliebigen Vektor in dieser Ebene bildest (x-2/y-2) ist so einer, weil Punkt (2|2) als Berührpunkt auf jeden Fall in der Ebene liegt, muß das Skalarprodukt mit dem Gradienten durch P Null ergeben:

(96/-16)·(x-2/y-2)=0

96*(x-2)-16*(y-2)=0

96x-192-16y+32=0

96x-16y=160 ist somit die Gleichung der gesuchten Ebene.

Das kannst Du auch durch 16 teilen:

6x-y=10

Herzliche Grüße,

Willy

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Vergiß die Antwort. Hatte mir etwas falsch notiert.

Siehe Antwort von mihisu.

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6x-y=10 ist eine Ebene die senkrecht auf der xy-Ebene steht…

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@Willy1729

Jetzt weiß ich, was falsch war.

Ich hätte die implizite Form f(x;y;z)=2x^4-x²y³-z nehmen sollen mit P(2|2|32).

Dann stimmt es auch mit meiner Formel.

grad F=(8x³y-2xy³/2x^4-3x²y²/-1)

grad F0=(96/-16/-1)

grad F0·(x-2/y-2/z-32)=0

Daher:

96*(x-2)-16*(y-2)-z+32=0

z=96x-16y-128, was genau der Gleichung von mihisu entspricht.

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