Gleichung 3. Grades Lösen / DGL Lösung implizit -> explizit / trigonometrische Funktion

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3 Antworten

Ganz am Anfang: Ich finde deine Schreibweise mit dem "x" als Multiplikationszeichen ehrlich gesagt etwas unübersichtlich (das sieht immer so aus wie eine von den anderen Variablen), deshalb werde ich hier das allgemein übliche "* " verwenden (Man muss in Gutefrage ienfach immer ein Leerzeichen hinter dem Sterrnchen lssen, sonst wird es als Formatierungszeichen interpretiert).

Naja, also das ganze mit ner DGL zu lösen, ist ja ein geanz netter (und vor allem unüblicher Ansatz). Um das zu vereinfach würde ich einfach so vorgehen, dass du als Ansatz einfach sin(ωv+φ0) verwendest. Denn wie man zeigen kann, kann man einen Summe von sin und cos mit gleichem Argument so zusammenfassen. Da du ja aber die DGL schon mit sin und cos gelöst hast, kann man das auch einfach direkt zusammenfassen, indem du das Additionstheorem für sin(α+β) "rückwärts" benutzt. Allerdnigs kommst du dann halt am Schluss auf irgendwas in der Form

v³=q* sin(b* v+ φ0)+k* P/b²

Was dich auch nicht wirklich weiterbringen wird. Also würde ich empfehelen: So schön es auch ist, vergiss das mit der DGL. Lös die Gleichung einfach "direkt". Dazu gäbe es zwei Möglichkeiten: Nutze ein CAS (Computer-Algebra-System), also ein Programm, das mit Variablen rechnen kann (z.B. Derive). Wahrscheinlich illst du das aber nicht, weil du das ja geren "selber" machen willst.

Dann gäbe es da noch die Mtehode von Cardano, dioe z.B. hoier beschrieben ist: http://de.wikipedia.org/wiki/KubischeGleichung#AnalytischeBestimmungreellerL.C3.B6sungen

Damit kannst du jedes Plynom dritten Grades lösen, wobei das hier sogar ziemlich leicht ist, weil du schon eine sogenantne reduzierte Form (es kommt kein v² vor) hast.

Trotzdem sind die Gleichungen am Schluss etwas unschön. Ich hab dir mal einen Screenshot von meinem CAS (Derive) reingestellt, mit dem ich deine Gleichung gelöst habe. Du wirst dich vermutlich etwas über die trigonometrischen Funktionen wundern, das kommt daher, dass man beim Berechnen der 3. Wurzel (die man irgend wann mal machen muss) komplexe Zahlen berücksichtigen muss 8man kann das dann auch anders schreiben, abe Derive schreibt das nun mal in dieser eher unschönen Form). Außerdem ist natürlich zu beachten, dass mit realen Zahlen 2 der 3 Lösungen evtl. Komplex sein könnten und damit für dich keine sinnvolle Lösung darstellen.

Zwei Fragen hätte ich noch:
- Woher kommen in deiner Gleichung bitteschön die 1,15???
- Wiesop soll da plötzlich die Relativitätstheorie "rauskommen"? Also wieso soll da als maximale Geschwindigkeit plötzlich c herkommen? Das ist nur dann möglich, wenn du das auch im Voraus berücksichtigst, d.h. du müsstest die Masse abhängig von einer Ruhemeasse und v machen.

Außerdem weise ich der Korrektheit noch darauf hin: Konstantes cw anzunehmen ist natürlcih nur eine Näherung, wobei die für nicht zu langsame Geschwindigkeiten eigentlich ganz gut ist.

Lösung - (Schule, Mathe, Studium)
oettinger31 18.06.2011, 20:17

Hi,

vielen Dank für diese ausführliche Antwort, auf die Gleichung aus dem CAS wär ich niemals "von Hand" gekommen. Kannte dieses Tool bisher noch nicht.Was mich ein wenig wundert ist, dass in allen drei Lösungen eine Wurzel aus einer negativen Zahl gezogen wird (die Parameter sind real gesehen ja alle positiv reell), was wieder zu einer komlexwertigen Lösung führt. Das erscheint mir wenig sinvoll (zumindest fehlt bei einer komplexwertigen Geschwindigkeit der Praxisbezug).

Über arcsin bzw arccos wundere ich mich eher weniger, da in der Lösung meiner DGL auch schon sin(bv) und cos(bv) vorkamen und um sowas nach v aufzulösen muss man sich ja der Umkehrfunktionen bedienen.

Zu deinen Fragen:

  • Woher kommen in deiner Gleichung bitteschön die 1,15???

Der Faktor gibt die ungefähre Verlustleistung im Antriebsstrang eines Frottrieblers an (hab ich als ungefähren Richtwert im Internet gefunden).

  • Wiesop soll da plötzlich die Relativitätstheorie "rauskommen"?

Wusste gar nicht, dass das aus der Relativitätstheorie stammt. Die Gleichung erschien mir logisch, da es sich um einen exponentiellen Verlauf handelt, der als Asymptote die Lichtgeschwindigkeit hat (diese kann bekanntlich nicht überschritten bzw. nur mit unendlichem Energieaufwand erreicht werden). Außerdem zeigt sich, dass mit zunehmender Leistung der Geschwindigkeitszuwachs abnimmt. Das ist auch logisch, da ein Auto was sagen wir 100km/h fährt mit doppelter Leistung aber sonst identischen Aufbau (also Masse, cw Wert usw.) nicht 200km/h fahren würde, was ja z.B. auch damit zusammenhängt, dass der Luftwiderstand überproportional mit der Geschwindigkeit wächst.

Dass es sich bei den Parametern um Näherungswerte handelt, ist schon klar. Es geht mir nur um eine grobe theoretische Betrachtung, die aber mathematisch und physikalisch korrekt sein sollte, wie das in der Praxis aussieht merke ich ja, wenn ich mein Auto auf die Autobahn ausführe ;)

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arrgh 18.06.2011, 22:18
@oettinger31

Kurz zu der Relativitätstheortie: Das hab ich natürlich etwas spitz formulliert. Aber dennoch ist das ja gewissermaßen der "Ursprung" der relativitaätstheorie, da man c als absolut postuliert (also vorausgesetz) hat und damit c letztednlich die maximale erreichbare Geschwindigkeit ist. Letztendlich gehts einfach darum ,dass hier ichts mit c raus kommen kann, weil man das dann entsprechend bei der Masse hätte berücksichtigen müssen (aber für ein Auto ist das ja wenig sinnvoll).

Wegen den komplexen Zahlen: Letztednlich ist das einfach so, dass bei einer ode bei allen drei Gleichungen aus dem sin oder cos eine komplexwertige Zahl rauskommt, die so ist, dass sich dann die komplexen Anteile "wegfallen". Wie gesagt, die schreibweise ist sicherlich aucht nicht so sinnvoll, aber Derive "Vereinfacht" das leider so (evtl. hätte ich da noch ein bisschen Steuern können, indem man die andern Variablen alle als reel definiert hätte, hatte bloß keine Lust dazu ).

Aber man kann das ganze ja mal nach Cardano machen (Hatte vorher keine Lust, aber jetzt interessiert es mich dann doch auch):

Also die Gleichung ist von der Form (Alles auf eine Seite, zusammenfassen, und am Schluss durch das vor dem v³ teilen)

v³ + p*v+q=0

Damit ist sie schon reduziert (weil kein v², sonst müsste man v durch z-a/3 substituieren)

Jetzt substituieren wir: v=a+b

Wobei wir davon ausgehen können, das a und b nicht Null sind (sonst wär ja die Substitution sinnlos). Damit ergibt sich, wenn man (a+b)³ auflöst und richtig ausklammert:

a³+b³+q+(3ab+p)(a+b)=0

Die Idee ist nun, das einfach in zwei Gleichungen aufzusplitten:

a³+b³+q=0
3ab+p=0

Wenn man ein (bzw genau genommen drei) Paar für a und b findet, dass dieses Gleichungssystem löst, dann kann man die Lösung angeben. Jetzt erzähle ich ein paar Schritte nur (kannst du relativ leicht (vom Schreibaufwan abgesehen) selber nachrechnen. Man löst die zweite Gleichung nach b auf und setzt das in die erste Gleichung ein. Dann kann man hier mit a³ multiplizieren (weil das einmal im Nenner steht) und dann a³ mit irgendwas substituieren. Man erhält eine quadratische Gleichung, die man z.B. mit der Mitternachtsformel lösen kann. Dann resubstituieren wir wieder, sodas man wieder a³ hat. Es ergibt sich das neue Gleichungssystem (die Lösung der quadratischen Gleichung mit dem "minus" wird nicht verwendet, da wir nur eine benötiegn (Es müsste egal sein welche, es kommt am Schluss dasselbe raus):

a³= -q/2+√(1/4* q²+1/27* p³)
3ab+p=0

So, damit muss man nur noch die erste Gleichung nach a auflösen, dann mit der zweiten b berechnen, dann wieder damit v berechnen. Jetzt weiß ich nicht, wie viel du mit komplexen Zahlen am Hut hast, aber es gilt folgendes: Die Lösungen der Gleichung x³=k lauten:

x1=∛(k)
x2=∛(k)* (-1/2+√(3)/2* i)
x3=∛(k)* (-1/2-√(3)/2* i)

Damit hat man die 3 Lösungen für a und damit die drei Lösungen für b unds schließlich für v. Nun gilt ja b=-p/(3a). Also: Wenn a reel ist, dann ist auch b reel, dann ist auch v reel. Wenn a complex ist, ist zwar auch b komplex. v kann aber wieder reel sein, wenn sich die komplexen Terme von a und b genau aufheben, wenn also Im(a)+Im(b)=0 ist (Im(...) bezeichnet den imaginären Teil).

Jetzt betrachten wir nochmals p und q. Aus der ursprünglichen Gleichung herausgelesen ergibt sich:

p= 2* cr* g* m/(A* D* cw)
q=- 40* P/(23* A * D* cw)

DAmit ist aber p positiv und damit ist auch die "Diskriminante", bei der Berechnung von a³ (also 1/4* q²+1/27* p³) positiv. Damit ist k reel. und damit ist a1=x1 ebenfalls reel. Man kann nun zeigen: die Imaginären Teile von a2 und b2 beziehungswiese a3 und b3 heben sich nur dann auf, wenn p negativ ist und dann q=- 2* 3^(1/2)* (-p)^(3/2)/9 ist. Ansonsten bleibt ein Imaginärteil übrig. Da hier p positiv ist, ist dies nicht der Fall und es gibt nur eine reele Lösung, nämlich v=a1+b1. Wenn man alles einsetzt ergibt sich damit:

v1=∛(-q/2+√(1/4* q²+1/27* p³)) + -p/(3* (∛(-q/2+√(1/4* q²+1/27* p³))))

Und vereinfacht (hab einen Teil mit z substituiert, damits schöner wird):

v1=432^(1/6)/6* (∛(z)²-∛(4)* p)/∛(z)
z=√(4p³+27q²)-3* √(3)* q

So, damit hast du deine Lösung für dein Problem, in relativ schöner Schreibweise. Ich geb aber für nix ne Garantie. Wenn du noch zu was Fragen hast, einfach melden.

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oettinger31 19.06.2011, 01:40
@arrgh

Danke, das ist wirklich sehr hilfreich, der Rechenweg ist soweit nachvollziehbar. Ich hab die Umkehrfunktion noch einmal grafisch gebildet.Als hätte man nicht in der Uni genug zu tun, beschäftigt man sich auch noch in seiner Freizaeit mit solchen Sachen :)So kann ich es dann jetzt in ein Excel Dokument einfügen, wobei automatisch eine Grafik erzeugt wird, wenn die entsprechenden Parameter eingefügt werden.

Mein Ziel war folgendes: Ich wollte ein Excel Dokument erstellen, wo ich den Drehmomentverlauf und die Übersetzungen der Gänge/des Differenzials eines Autos eingebe, daraus sollten Leistung und Höchstgeschwindigkeit errechnet werden. Die theoretische Höchstgeschwindigkeit eines Autos liegt nun im letzten Gang bei maximaler Drehzahl, was praktisch aber unrealistisch ist (kein Auto dreht im letzten Gang bis zur höchsten Drehzahl). Errechnet man am Punkt der maximalen Leistung des Motors die Geschwindigkeit aus Raddrehzahl (die wiederum aus Motordrehzahl und Übersetzung) und Radumfang, fehlt der Einfluss von Roll- und Luftwiderstand und Wärmeverlusten. Diese wollte ich jedoch berücksichtigen. Darum der ganze Aufwand hier.

Herausgekommen ist nun folgendes (bei den Links im ht.tp bitte den Punkt entfernen, gutefrage meint 3 Links sind Spam):

  • ht.tp://s7.directupload.net/file/d/2560/hu2fuzln_jpg.htm mit den Werten für mein Auto, das Ergebnis deckt sich sogar mit der Realität (Die Grafik jetzt noch von Hand gezeichnet ohne deine Funktion, da es mir heute zu spät ist sie einzufügen :))

  • ht.tp://s1.directupload.net/file/d/2560/rremwm3e_jpg.htm Höchstgeschwindigkeit der einzelnen Gänge (unter idealen Bedingungen)

  • ht.tp://s7.directupload.net/file/d/2560/yyy4icg6_jpg.htm Raddrehzahl abhängig von der Geschwindigkeit (hier erkennt man die Schaltpunkte für maximale Beschleunigung als Schnittpunkt eines Ganges zum nächst höheren)

Bei den unteren beiden Diagrammen stellen blaue Linien mein Auto (Fahrzeug B), die Roten im Vergleich dazu einen BMW 535d (E60, Motor M57D30TOP; Fahrzeug A) dar.

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arrgh 19.06.2011, 15:04
@oettinger31

Ist ne nette Geschichte. Hätte auch nicht erartet, dass du an ner Uni bist (da hat man ja meist nicht mehr die Zeit für sowas), sondern hätte dich jetzt eher als Abiturient mit großem Matheinteresse eingeordnet. Da hätte ich mit ja mit den komplexen Zaheln keine Sorge machen müssen, das ist ja dann alles bekannt.

Jetzt stellt sich mir nur noch eine abschließedne Frage: Das lösen von nem Polynom 3. Grades ist ja ganz nett 8und ich fand die Frage auch schön weil ich das jdeshalb endlich auch mal selber gemacht habe), aber wenn ich das richtig verstanden habe, war doch dir Problemstellung so, dass für alle Parameter konkrete Werte vorlagen. Wäre es dann nicht einfacher gewesen, das ganze einfach numerisch zu lösen? Gerade alös Student hat man da ja Zugänge zu netten Programmen (z.B. Matlab), mit denen das doch in Null-Komm-Nix erledigt wäre. Oder gings schon auch drum, verschiedene Abhängigkeiten genauer zu erkennen, was ja wieder mit analytisch aufgelösten Formeln deutlich leichter ist?

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oettinger31 19.06.2011, 17:56
@arrgh

Die Excel ist nun soweit fertig :)Mir ging es darum, dass die Parameter variiert werden können, also die müssen für ein bestimmtes Fahrzeug bekannt sein und eingegeben werden. Dann kann man für sein Fahrzeug aus den theoretischen Höchstgeschwindigkeiten (im Höchsten Gang) und der leistungsabhängigen Geschwindigkeit sehen, wie die reale Höchstgeschwindigkeit ist bzw. bei welcher Drehzahl welche reale Geschwindigkeit möglich ist.Die Parameter für mein Auto sind mir natürlich bekannt, aber ich wollte das ganze halt dynamisch gestalten und nicht nur auf mein Auto beschränken.Mit der Software muss ich mich nochmal schlau machen. Es gibt einfach so viel (aus allen Bereichen) was man bekommen kann, da kenn ich noch nicht alles. Hab mich bisher eher auf andere Cad Software (Autodesk Produkte) beschränkt, da die für Studenten kostenlos sind :DWie schon geschrieben, Polynome 3. oder höheren Grades kann ich bisher nur über bekannte (geratene) Nullstellen durch Polynomdivision lösen, aber ich hab ja noch ein paar Semester vor mir, das wird in Mathe bestimmt nochmal gemacht.Als Abiturient hätte ich denke ich nicht den Ansatz über eine DGL versucht ;)War mal ne ganz nette Aufgabe fürs Wochenende, so sieht man mal, dass das ganze auch einen Praxisbezug haben kann.

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arrgh 19.06.2011, 18:37
@oettinger31

Naja, das mit den Polynomen lösen bezweifel ich ehrlich gesagt, dass das in Mathe noch kommt. Wir haben das jedenfalls auch nie gemacht, und ich hätte auch bisher von niemandem gehört, dass sie das schonmal gemacht haben (Ich bin auch nur zufällig drauf gestoßen). Ich würd dir aber empfehlen (sofern du dafür Zeit hast), mal zu schauen ob deine Uni eine Matlablizenz für ihre Studenten zur Verfügung stellt. Das ist bei so Sachen auch ganz hilfreich, weil man dann ja auch mit einem variablen Parametersatz kommen kann, und den dann einfach kurz numerisch lösen lassen kann, das geht ja fix. Auch wenn Matlab natürlich ganz besonders für Rechnungen mit Matrizen und Vektoren geeigent ist, so ist das doch ein "Allroundpaket", mit dem man eigentlich so ziemlich alles machen kann (zumindest, sofern du ein bisschen Programmiererfahrung hast)

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Hallo! Mich würde brennend interessieren, wie denn jetzt die "fertige" Excel Formel aussieht. Ich verwende eine sehr ähnlich für die gleiche Ausgangsbasis "wieviel Leistung bei gegebener Geschwindigkeit" (nur ist bei mir der Faktor 1,17 für Hinterradantrieb) und hatte mich ebenfalls beim Substituieren verrannt. Gruß Bathi

oettinger31 16.07.2011, 13:38

Hi, http://bildupload.sro.at/p/379922.html ist die Gleichung. P ist die Leistung, P[V] ist Verlustleistung im Antriebsstrang, c[w] Widerstandsbeiwert, A Stirnfläche, D Dichte der Luft, v Geschwindigkeit, c[r] Rollwiderstandsbeiwert, m Masse, g Gravitationskonstante (9,81 m/s² bzw. 9,81 N/kg).

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Zu einer Gleichung dritten Grades fällt mir nur ein: eine Nullstelle erraten und dann durch das Linearglied (x-x0) teilen, also Polynomdivision durchführen oder gleich es mit dem Newtonverfahren zur Suche einer Nullstelle probieren.

oettinger31 18.06.2011, 18:47

Prinzipiell richtig, allerdings hier denke ich nicht möglich, da die Funktion selber hoch 3 vorkommt und nicht die abhängige Variable, ich wusste nur nicht, wie ich das in der Überschrift anders beschreiben sollte, die Mathematiker haben da bestimmt nen tollen Ausdruck für :D

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