Gibt es zwei irrationale Zahlen, zwischen denen keine rationale Zahl zu finden ist?

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1 Antwort

Nein.


Beweis:

Von zwei verschiedenen irrationalen Zahlen ist eine (im Folgenden b) größer als die andere (im Folgenden a), so dass b-a > 0 (1)

Die Dezimalbruch-Darstellung der (irrationalen) Zahl c = (a+b)/2 lässt sich durch Weglassen aller Stellen ab einer geeigneten so zu einer rationalen Zahl q abrunden ( ⇔ q <c (2)), dass

c - q < (b-a)/2. - Dann ist

-q < (b -a)/2 - c = (b-a)/2 - (b+a)/2 = -a ; | * (-1)

q > a (3);

Wegen (1) und (2) ist auch:

q < q + (b-a)/2 < c + (b-a)/2 = (a+b)/2 + (b-a)/2 = b; (4)

aus (3) und (4) folgt die Beh.

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