Gibt es schon eine solche mathematische Richtung?

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9 Antworten

Grundsätzlich ist jede Parabel unendlich lang.

Ich nehme an, du möchtest du Länge de Graphen in einem bestimmten Intervall berechnen.

Aber das ist auch kein Problem, denn für derartige Dinge gibt es in der Mathematik das Integral.

Prinzipiell zum Berechnen des Flächeninhalt unter einer Kurve, hat das Integral jedoch viele Facetten.

Es gibt das Linienintegral, das die Bogenlänge eines solchen Teilstücks berechnen lässt.

Spezifische Links hast du bereits bekommen.

Das Prinzip ist gleich mit dem des "normalen" Integrals.

Ich hoffe, ich konnte dir helfen; wenn du noch Fragen hast, kommentiere einfach. 

LG Willibergi 

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Betrachte ein Teilintervall [a,b] einer Funktion f, f soll auf diesem die Eigenschaft haben stetig diffbar zu sein. Wir teilen nun das Intervall nun in n gleichgroße Teilintervalle der Breite (b-a)/n . Und wir betrachten diese Funktion mal auf diesen Teilintervallen als linear. (Ähnlich wie du einen Kreis durch ein n-Eck approximieren würdest). Wenn wir nun mal die Strecke betrachten die innerhalb eines Teilintervalls zurückgelegt wird, so erhalten wir mit dem Satz des Pythagoras:

(delta s)^2 = (delta x)^2 + (delta f)^2

Dividieren durch (delta x)^2 und ziehen der Quadratwurzel auf beiden Seiten liefert:

(delta s)/(delta x) = [ 1 + ((delta f)^2)/((delta x)^2) ]^(1/2)

Da die Strecke nur zunehmen kann gilt: (delta s)/(delta x) >= 0 

Und da die Strecke nur zunehmen kann gilt: delta s >= 0

Mit delta x ---> 0 folgt schließlich:

ds/dx = [ 1 + (df/dx)^2 ]^(1/2) 

Da s unsere gesuchte Funktion der Strecke ist folgt durch integrieren nach dx auf beiden Seiten:

s(x) = Int{  [ 1 + (df/dx)^2 ]^(1/2) dx} 

Und damit für die Wegstrecke über das Intervall [a,b] : 

Strecke[a,b] = Int[a,b]{  [ 1 + (df/dx)^2 ]^(1/2) dx} 

Wobei df/dx die erste Ableitung von f nach x ist.

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siehe Mathe-Formelbuch "Anwendung Integralrechnung"

Bogenlänge (Rektifikation) einer Funktion f(x)

Formel s= Integral ( Wurzel (1+f´(x)^2) * dx

im Intevall xu = untere Grenze und xo= obere Grenze

f´(x)^2 dies ist die 1.te Ableitung der Funktion f(x) zum Quadrat

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Eine Funktion verhält sich für x gegen +/- unendlich immer gegen + oder - unendlich. Mit anderen Worten: Eine Funktion ist unendlich lang. Du müsstest das Ganze auf ein bestimmtes Integral begrenzen. Dann kann man das Ganze durchaus ausrechnen, und zwar mit dem Linienintegral.

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Kommentar von Hamsterbuttzz
22.08.2016, 00:17

omg stimmt, man zerlegt die Linie einfach in beliebig viele, beliebig kleine Stücke, rechnet das aus und lässt das gegen unendlich gehen, hätte ich eig selbst draufkommen müssen^^

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Kommentar von Willibergi
22.08.2016, 01:09

"Eine Funktion verhält sich für x gegen +/- unendlich immer gegen + oder - unendlich."

Nicht immer. Dieser Fall ist möglich, jedoch gibt es auch andere Fälle wie 

f(x) = √(25 - x²)

bei denen der Funktionsgraph für x < -5 und x > 5 nicht reell definiert ist und somit sich eine begrenzte Länge hat.

"Mit anderen Worten: Eine Funktion ist unendlich lang."

Wie oben gesehen, ist das keine legitime Schlussfolgerung.

LG Willibergi 

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Wenn die Funktion auf dem gesamten ℝ definiert ist, ist der "Wegzug" des Funktionsgrafen auch unendlich lang - immer.

Geht es nur um ein endliches Intervall und ist die Funktion in diesem Intervall beschränkt, dann ist er (meist) auch endlich.

Und ja. Dafür gibt es mathematische Berechnungsverfahren.

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Macht man mit dem Bogenintegral.

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Hallo!

Ja, es gibt so eine Richtung in der Mathematik schon sehr lange, nämlich die   A n a l y s i s   (leider zensiert gutefrage.net dieses schöne Wort).

Hier ist eine Formel für die Länge einer stetig differenzierbaren Funktion f im Intervall [a, b] (Quelle: https://de.wikipedia.org/wiki/L%C3%A4nge\_(Mathematik)#Spezialf.C3.A4lle ):

LG girlyglitzer


Quelle: Wikipedia - (Mathe, Mathematik, Länge)
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Kommentar von YStoll
22.08.2016, 00:29

lustigerweise ist einfach nur anal jedoch kein Problem.
AnaIysis geht auch, mit großem i statt kleinem L.

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Mit der Bogenlänge geht das in einem bestimmten Intervall

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Kommentar von Hamsterbuttzz
22.08.2016, 00:13

wie lang ist z.B. der Teil der Funktionskurve von f(x) = x² im Intervall von [0;1] ?

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