Gibt es komplexere zahlen als die imaginären zahlen?

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4 Antworten

Nicht die imaginären Zahlen allein, sondern die Komplexen Zahlen, also allgemeine Summen aus Reellen und Imaginären Zahlen (die beiden einzelnen sind als Spezialfälle enthalten). Sie bilden einen sogenannten Körper, wie es auch die Reellen Zahlen selbst tun. 

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Es gibt unterschiedliche Algebren (Sg.: Algebra) sogenannter Hyperkomplexer Zahlen.

https://de.wikipedia.org/wiki/Hyperkomplexe_Zahl

Darunter versteht man so einen Vektorraum über ℝ mit zwei zusätzlichen Eigenschaften:

  • Eine Multipliktion der einzelnen Elemente muss definiert sein.
  • Die Reellen Zahlen selbst müssen enthalten sein.

Es sind hier zahlreiche Multiplikationsregeln denkbar, aber manchmal erweisen sich Algebren mit komplizierten Regeln als identisch mit einer anderen mit sehr viel einfacheren.

Dann gibt es noch verschiedene Spezifikationen. Die Multiplikation kann assozitiv, kommutativ oder auch umkehrbar sein. Wenn sie umkehrbar ist, spricht man von einer Divisionsalgebra.

Es gibt nicht viele Divisionsalgebren, und sie müssen eine bestimmte Anzahl von nicht-reellen Dimensionen haben, nämlich 2, 4 oder 8.

Die 2, das sind die Komplexen Zahlen (ℂ). Sie bilden einen sogenannten Körper wie die Reellen Zahlen, und hier sind die umfangreichsten Operationen möglich. Es gibt eine imaginäre Einheit i mit i²=–1.

Die 4, das sind die Quaternionen (ℍ wie Hamilton). Sie bilden einen sogenannten Schiefkörper, bei dem die Multiplikation assoziativ, aber nicht unbedingt kommutativ sind. Es gibt drei „imaginäre Einheiten“, die meist i, j, k genannt werden und dieselben Eigenschaften wie das i aus ℂ (übrigens gilt das auch für Kombinationen wie 0,8i+0,6j: ausprobieren!). Untereinander antivertauschen sie: i·j = k; j·i = –k und zyklisch. Das Quaternionenprodukt kombiniert das Skalarprodukt und das Kreuzprodukt miteinander. Das macht sie besonders interessant. Sie erinnern auch an die Raumzeit.

Die 8, das sind die Oktonionen (𝕆). Sie bilden einen sogenannten Alternativkörper. Die Multiplikation ist hier nicht mehr assoziativ, sonern nur noch „alternativ“, das ist eine Art abgeschwächte Version des Assoziativgesetzes.

Allerdings können auch Nicht-Divisionsalgebren wie die hyperbolischen Quaternionen oder die Biquaternionen interessant sein. Sie enthalten Nullteiler, die sich z.B. mit singulären Matrizen identifizieren lassen oder, auf die Raumzeit anspielend, mit „Objekten“, die sich mit c bewegen.

https://arxiv.org/abs/1406.1014

Danke für den Stern.

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Hier ist schon richtig geschrieben worden, dass die imaginären Zahlen eine Teilmenge der Komplexen Zahlen sind. Ich interpretiere deine Frage mal so, dass du nach einer sinnvollen Erweiterung der komplexen Zahlen suchst, die noch ein bisschen "komplexer" ist...

In gewisser Weise gibt es das tatsächlich. Diese Menge sind die "Quaternionen". Das sind Zahlen die sich als a + bi + cj + dk schreiben. In diese Menge kann man die komplexen Zahlen einbetten, die komplexen Zahlen sind damit quasi eine Teilmenge der Quaternionen. 

Das Rechnen ist dort aber deutlich anders. Insbesondere gelten nicht alle gewohnten Rechengesetze... es ist z. B. a * b nicht mehr  unbedingt b * a. 

Wenn du das als "komplexer" als die imaginären (bzw. die komplexen) Zahlen ansiehst, dann ist die Antwort auf deine Frage: Ja, es gibt "komplexere" Zahlen. 

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rationale Zahlen....was ist das?

Die Menge der imaginären Zahlen sind eine Teilmenge der komplexen Zahlen.

z=k*i (k Element aus R)
bzw.
z=r*e^(i*pi/2) (r Element aus R)

Die komplexen Zahlen sind umfassender, enthalten also über die imaginären Zahlen hinaus weitere Elemente
z=l+k*i (l, k Elemente aus R)
bzw.
z=r*e^(i*phi) (0<=phi<2*pi)

Reelle Zahlen sind eindimensional. Komplexe sind zweidimensional. Es gibt auch mehrdimensionale Zahlen wie zum Beispiel: 4+5i-3j+8k. Ich weiß leider nicht, wie die Zahlenmenge heißt. Vielleicht ist diese "komplexer".

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