Gibt es komplexe Zahlen in den rationalen Zahlen?

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9 Antworten

Folgendes ist wichtig:

ℚ ⊂ ℂ

Die rationalen Zahlen sind in den komplexen Zahlen enthalten.

Die Frage ist nun, ob folgende Uassage zutrifft:

∄x∈ℂ: x∈M bzw. ∄x∈ℂ: x∈ℚ ∧ x∈(2; 5)

Wörtlich: Es existiert keine komplexe Zahl, die rational ist und im exklusiven Intervall von 2 bis 5 enthalten ist.

ℚ ist jedoch eine (echte) Teilmenge von ℂ.

Daher gilt:

∀x∈ℚ: x∈ℂ

Alle rationalen Zahlen in in der Menge der komplexen Zahlen enthalten.

Und dass im Intervall (2; 5) rationale Zahlen existieren, steht außer Frage.

Somit gilt auch die zu beweisende Aussage nicht und ist widerlegt,

Kurz gesagt:

Eine Teilmenge der rationalen Zahlen ist auch IMMER eine Teilmenge der komplexen Zahlen.

Ich hoffe, ich konnte dir helfen; wenn du noch Fragen hast, kommentiere einfach. 

LG Willibergi 

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Kommentar von lks72
07.08.2016, 23:18

Eine Frage: Wo hast du denn die schönen Symbole her? Sieht gar nicht mehr aus wie bei GF :-)

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Die Aussage ist auf jeden Fall falsch, denn

ℚ ⊂ ℝ ⊂ ℂ.

Natürlich ist M keine rationale Zahl, sondern die x∈M sind rationale Zahlen, nämlich zwischen 2 und 5. So ist M ja definiert. Zu M gehört z.B.

4 = 4 + 0·i ∈ ℂ

Es ist sogar

M ⊂ ℂ, d.h. ∀ (x∈M) x∈ℂ

Was m nicht enthält, sind sozusagen »echt komplexe Zahlen« z mit Im(z) ≠0.

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M enthält die komplexen Zahlen, die einen Imaginärteil von 0 und einen Realteil zwischen 2 und 5 haben. Die Menge R der reellen (und damit auch die rationalen) Zahlen ist btw eine echte Teilmenge der Menge C der komplexen Zahlen. 

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Kommentar von ifepoin
07.08.2016, 18:04

ohh okay das war verständlich, danke dir!

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"Eine der Aussagen lautete: Die Menge M enthält keine Zahlen aus der Menge der komplexen Zahlen."

Dann ist M die leere Menge. R ist nämlich Teilmenge von C.

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Kommentar von ifepoin
07.08.2016, 18:07

was für eine leere menge?

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Kommentar von vitus64
07.08.2016, 18:10

Eine Menge, die keine Elemente enthält.

Wenn das genannte Intervall als Teilmenge von R keine Elemente aus C enthalten darf, ist es leer, da R Teilmenge von C ist.

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Q ist eine Teilmenge von C.

M ist eine Teilmenge von Q, ergo: M ist eine Teilmenge von C, enthält also komplexe Zahlen, z.B. die 3, geschrieben als 3 + 0i. Nirgendwo wurde gesagt, dass die Zahlen Imaginärteil ungleich 0 haben müssen ;)

LG

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Ohne die anderen Antworten gesehen zu haben, würde ich sagen, diese kann schon allein deshalb nicht die richtige sein, will M keine Menge ist, sondern eine einzelne Zahl mit der Eigenschaft, dass sie zwischen 2 und 5 liegt.

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Kommentar von ifepoin
07.08.2016, 18:01

muss korrigieren, um ganz genau zu sein steht dort: 

M = { x ∈ ℚ | 2 < x < 5}

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Kommentar von einfachsoe
07.08.2016, 18:13

Nein! M ist die Menge aller Zahlen x, mit der Eigenschaft 2

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Nein.


ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ ⊂ ℂ

Es darf auch nicht übersehen werden, dass die Beziehung
2 < x < 5 in ℂ gar nicht gilt. Die komplexen Zahlen haben keine Ordnung.




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Kommentar von ifepoin
07.08.2016, 18:16

was nein?

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Kommentar von Roach5
15.08.2016, 18:47

Keine totale Ordnung! Du kannst C in Ketten aufteilen, wobei du R um einen bestimmten Winkel in C drehst und die Ordnung aus R importierst, so bekommst du 2 < 5 und 1 + i < 2 + 2i, aber 1 und 1 + i sind nicht vergleichbar (um den üblichen Widersprüchen aus dem Weg zu gehen).

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Rationale Zahlen sind immer auch komplexe Zahlen. Eine komplexe Zahl hat ja allgemein immer die Form  a + b i , wobei a und b reellen Zahlen sind.

Wenn a eine rationale Zahl ist und b = 0, dann handelt es sich insgesamt um eine rationale Zahl

Man könnte die Menge M auch so beschreiben:

M = { z ∈ C | Realteil (z) ∈ Q  und 2 < Realteil (z) < 5 und Imaginärteil (z) = 0}

Daran sieht man, dass M auch komlexe Zahlen enthält.

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Kommentar von ifepoin
07.08.2016, 18:42

sehr gut erklärt, danke dir !!

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Ich glaube das Problem an der Antwort ist der Begriff "Menge"... laut deiner Notation (2<M<5) soll M eine Zahl und keine Menge sein...

rationale Zahlen sind ein Teil der reelen Zahlen und somit sind komplexe Zahlen nicht mit eingeschlossen

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Kommentar von ifepoin
07.08.2016, 18:01

Der Begriff Menge steht so dort.

Ja, nicht? Das denk ich mir doch auch, 

rationale Zahlen sind ein Teil der reelen Zahlen und somit sind komplexe Zahlen nicht mit eingeschlossen

Also warum ist dann diese Aussage nicht zutreffend?

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