Gibt es eine möglichst einfache Begründung, warum sin(x) + sin³(x) / (cos²(x) + cos(x)) = tan(x) ist?

4 Antworten

Vom Fragesteller als hilfreich ausgezeichnet

Hallo,

Du beziehst Dich sicher auf die Aufgabe mit den Winkelfunktionen:

https://www.gutefrage.net/frage/wie-kann-man-trigonometrische-funktionen-vereinfachen#comment-204799821

{(sin(2x))/2+sin²(x)/[(1/tan(x))+cosec(x)]}/cos(x)=tan(x).

sin(2x)/2=sin(x)cos(x) (Additionstheorem).

sin²(x)=1-cos²(x) (trigonometrischer Pythagoras).

1-cos²(x)=(1+cos(x))*(1-cos(x)) (3. binomische Formel.

1/tan(x)=sin(x)/cos(x) und cosec(x)=1/sin(x).

Damit hätten wir alles beisammen, was benötigt wird.

sin(2x)/2 ergibt sin(x)cos(x).

Den Nenner im zweiten Term faßt Du zusammen zu (cos(x)+1)/sin(x), denn 1/tan(x)=cos(x)/sin(x) und cosec(x)=1/sin(x); beides bringst Du auf den gemeinsamen Nenner sin(x).

Nun wird (1-cos²(x))=(1+cos(x))*(1-cos(x)) mit dem Kehrwert dieses Nenners multipliziert:

[(1+cos(x))*(1-cos(x)]*sin(x)/(1+cos(x)), wobei sich (1+cos(x)) wegkürzt:

(1-cos(x))*sin(x)=sin(x)-sin(x)cos(x) bleibt übrig.

Das wird zu dem ersten Summenterm sin(x)cos(x) addiert:

sin(x)cos(x)+sin(x)-sin(x)cos(x)=sin(x).

Da die ganze Geschichte zusätzlich durch cos(x) dividiert wurde, erhältst Du am Ende sin(x)/cos(x)=tan(x).

Der Weg über sin³(x) bringt einen nicht wirklich weiter.

Der Schlüssel liegt in der 3. binomischen Formel, durch die sich das cos²(x) erledigt.

Herzliche Grüße,

Willy

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Ja, ich beziehe mich auf Aufgabe Nummer 20 in dieser Frage.

Recht herzlichen Dank für deine hilfreiche Antwort !

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@precursor

Bei sin³(x) war ich zunächst auch gelandet, das war aber eine Sackgasse.

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44
@Willy1729

Ja

Ich finde es dennoch seltsam, aber auch interessant, die Tatsache entdeckt zu haben, dass

sin(x) + sin³(x) / (cos²(x) + cos(x)) = tan(x)

ist.

Ich wusste vorher noch nicht, dass das so ist, und werden diese Identität in meine Formelsammlung aufnehmen, just for fun ;-))

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20

Super Lösung, um aus der "sin³(x)-Falle" herauszukommen !!!

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Vielen Dank für den Stern.

Willy

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sin(x) und cos(x) können am Einheitskreis dargestellt werden und sind Vektoren.

x ist der Winkel in rad zwischen den Vektor und der positiven x-Achse

die mathematisch positive Drehrichtung ist linksherum ,gegen den Uhrzeigersinn.

Beispiel: f(x)=C1*sin(w*x)+C2*cos(w*x) kann umgewandelt werden in

f(x)=A*sin(w*x+b) mit A=Wurzel(C1^2+C2^2) und (b)=arctan(C2/C1)

Je nach dem,in welchen Quadranten der resultierende Vektor A liegt,muß man pi oder 2 pi addieren ,weil tan(a) der Winkel zwischen den Vektor und der x-Achse ist

Beispiel: C2=-1 und C1=2 (b)=arctan(-1/2)=-26,56°

Winkel zwischen der positiven x-Achse und den Vekor b=180°-26,56°=153,43°

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Das betrifft meine Frage zwar nicht, aber ich danke dir trotzdem vielmals für deine Mühen !

LG

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Mit den Abkürzungen sin(x)=s, cos(x)=c lautet der Ausdruck

 s(1 + s^2/(c^2+c) = s (1-c)/(c(1-c)) = s/c

und s/c ist tan(x).

44

Recht herzlichen Dank für deine hilfreiche Antwort !

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