Gibt es eine größte Primzahl?

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4 Antworten

Nein.

Beweis: Wir nehmen an, es gäbe endlich viele Primzahlen. Es gibt also eine größte Primzahl, die wir mit n bezeichnen. Die Folge aller Primzahlen wäre dann

(I) 2, 3, 5, 7, 11, 13, ... n

Dass diese Annahme nicht stimmen kann, wird offenbar, wenn die Zahl

(II) 2 . 3 . 5 . 7 . 11 . 13 . ... . n + 1

betrachtet wird: Diese Zahl wäre sehr viel größer als n, könnte also keine Primzahl sein. Folglich müsste sie einen (von 1 und ihr selbst verschiedenen) Teiler besitzen. Dieser Teiler könnte in ein Produkt von Primzahlen zerlegt werden, und alle diese Primfaktoren müssten die Zahl (II) teilen. (Wenn eine Zahl z.B. von 10 geteilt wird, dann auch von den Primfaktoren 2 und 5). Es müsste also zumindest eine Primzahl geben, die (II) teilt.

Andererseits lässt sich (II) nicht restlos durch irgendeine Primzahl unserer Liste 2, 3, 5, ... n dividieren (bezogen auf die Teilbarkeit in der Menge der natürlichen Zahlen), da immer Rest 1 bleibt! Es gäbe also eine Primzahl, die nicht in unserer Liste vorkommt! Das widerspricht aber der Annahme, daß wir in (I) alle Primzahlen aufgezählt haben!

ermanus 20.12.2009, 19:21

Dass diese Zahl 2.3. ... n + 1 sehr viel größer als n ist, bedeutet keineswegs, dass sie keine Primzahl ist, z:b. ist 1.2.3+1 = 7 doch sehr wohl eine Primzahl. Das ist ein falsches Argument. Nein es muss lauten, entweder ist diese Zahl eine Primzahl, die wir in unsrer Liste bisher nicht hatten, oder sie besitzt einen Teiler ...

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IvanP 20.12.2009, 19:25
@ermanus

Aber 1 ist doch keine größte Primzahl! Ich habe die größte Primzahl mit n bezeichnet.

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ermanus 20.12.2009, 19:29
@IvanP

Sorry, ich habe nicht bemerkt, dass Du einen Widerspruchsbeweis geführt hast. Asche auf mein Haupt. So, wie Du es geschrieben hast, ist es vollkommen Ok ! Mein Missverständnid liegt darin, dass ich diese euklidischen Beweis immer in einer positiven Form benutze!

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ermanus 20.12.2009, 19:26

Das ist der alte Euklid! Daher DH !

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Da es unendlich viele Zahlen gibt,gibt es auch keine höchste Primzahl. die abstände zwischen 2 Primenzahlen werdend zwar immer größer, aber das sagt ja nichts aus

lks72 20.12.2009, 20:23

Dieses Argument (nicht die Aussage) ist komplett falsch. Beispiel: Da es unendlich viele gerade Zahlen gibt, gibt es auch unendlich viele gerade Primzahlen! Dieser Satz ist natürlich falsch, du siehst, dass solche Argumentationen keine sind.

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Da es keine größte Zahl gibt gibt es auch keine größte Primzahl

IvanP 20.12.2009, 19:18

Das ist kein Beweis. Es gibt ja auch nur eine ganze Zahl zwischen 1 und 3, obwohl es unendlich viele Zahlen gibt...

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ermanus 20.12.2009, 19:23

Dies Argument ist volkommen unbrauchbar !!!

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Nein , natürlich nicht

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