Gibt es dafür einen wesentlich einfacheren Rechenweg?

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3 Antworten

binomische Formel (x-b)^2=x^2-2*b*x+b^2

ergibt Wurzel(3*Wurzel(2)-4) quadriert 3*Wurzel(2)-4

den Rest schaffst du selber.

TIPP: Überprüfe jeden Rechenschritt mit den Rechner,so erkennt man sofort Rechenfehler.

und "Wurzelgesetze" Wurzel(a)*Wurzel(b)=Wurzel(a*b)

Standardvorgehensweise ist immer:

1. Prüfen ,ob "binomische Formeln" angewendet werden können.

2. bei Wurzeln,immer Mathe-Formelbuch "Wurzelgesetze" aufschlagen.

3. bei "trigonometrischen Funktionen" immer Mathe-Formelbuch aufschlagen,Beziehungen zwischen diesen Funktionen.Davon gibt es mehrere Seiten.

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Die Hin- und Rücksubstitution würde ich weglassen - es ist doch nur eine Konstante. Im Prinzip ist mein Rechenweg natürlich gleich:

aus
(a - b)² = a² - 2ab + b²
berechne ich zunächst a² + b²

a² + b² = [3√2-4] + [3√2+4] = 6√2

fehlt noch -2ab

a*b = √[3√2-4] * √[3√2+4] = √([3√2-4] * [3√2+4])

Anwenden von (c+d)(c-d) = c² - d² 

a * b = √(9*2 -16) = √2

daher -2ab = -2√2

zu a² + b² addieren :
6√2 - 2√2 = 4√2

Es fühlt sich für mich einfacher an, obwohl es im Prinzip natürlich der gleiche Weg ist.

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DepravedGirl 07.10.2017, 19:32

Recht herzlichen Dank für deine hilfreiche Antwort !

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Hallo DepravedGirl

Man kann so vorgehen, dass man den gegebenen Term mit (W(3W2-4)+W(3W2+4))²/((W(3W2-4)+W(3W2+4))² multipliziert, also die dritte binomische Formel anwendet. (W steht für Wurzel)

Die nächste Zeile lautet: (3W2-4-3W2-4)²/(3W2-4+2W(9*2-16)+3W2+4);
Nächste Zeile.                   (-8)²/(6W2+2W2) = 64/(8W2) = 8/W2 = 4W2

Es grüßt HEWKLDOe.

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DepravedGirl 08.10.2017, 00:51

Recht herzlichen Dank für deine hilfreiche Antwort !

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DepravedGirl 08.10.2017, 01:29
@HEWKLDOe

Ich habe da noch mal Fragen zu :

(√(3√2-4)+√(3√2+4))²/((√(3√2-4)+√(3√2+4)))²

Wieso ist da ein Pluszeichen statt einem Minuszeichen drin ?

Der ursprüngliche Ausdruck lautete ja :

(√[3√2-4] - √[3√2+4])²

Außerdem, wie kommst du von

(√(3√2-4)+√(3√2+4))²/((√(3√2-4)+√(3√2+4)))²

auf

(3√2-4-3√2-4)²/(3√2-4+2√(9*2-16)+3√2+4)

?

Den Nenner kann ich mir erklären, aber leider kann ich mir den Zähler nicht erklären.

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DepravedGirl 08.10.2017, 01:34
@DepravedGirl

Anmerkung :

(√[3√2-4] - √[3√2+4])² * (√(3√2-4)+√(3√2+4))²/((√(3√2-4)+√(3√2+4)))²

habe ich jetzt doch verstanden.

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HEWKLDOe 08.10.2017, 01:46
@DepravedGirl

Durch die Multiplikation oben nach der 3. binomischen Formel "beseitigt" man mit einem Schlag alle "langen" Wurzeln und es heben sich auch noch die kurzen Wurzeln gegenseitig auf. Dafür muss man zwar unten ausmultiplizieren, aber da vereinfacht sich ja auch noch vieles, so dass man schnell zum Endergebnis kommt.

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DepravedGirl 08.10.2017, 01:51
@HEWKLDOe

Ok, ich kann deinen Rechenweg leider nicht vollständig nachvollziehen, was aber nicht deine Schuld ist.

Vielen Dank für alle deine Mühen !

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HEWKLDOe 08.10.2017, 02:38
@DepravedGirl

Ich habe den Rechengang etwas zu kurz gemacht und will das nun wieder gut machen, indem ich ihn etwas ausführlicher schreibe.

Den Ausgangsterm (W(3W2-4)-W(3W2+4))² nehme ich "oben" , also im Nenner mit (W(3W2-4)+W(3W2+4))² mal. Da beide Ausdrücke im Quadrat stehen, kann ich sie unter einem gemeinsamen Quadrat zusammenfassen und erhalte damit:
((W(3W2-4) - W(3W2+4)) * (W(3W2-4) + W(3W2+4)))², entspricht
((    a           -        b          ) * (      a           +         b        ))².  Also
(                                     a² - b²                                        )². Zurück:
(                            3W2-4  -  (3W2+4)                            )²
(                                   -4      -4                                       )²
                                     ( -8)² 

Da ich "oben" mit (W(3W2-4)+W(3W2+4))² mal genommen habe, muss ich auch den Zähler 1 damit malnehmen. Der Zähler ist also 
(W(3W2-4)+W(3W2+4))² =
= (W(3W2-4))² + 2*(W(3W2-4)*W(3W2+4) + (W(3W2+4))² =
=  3W2-4          + 2*W((3W2-4)*(3W2+4))    + 3W2+4 =
=  6W2             + 2*W(9*2 - 4*4) = 6W2 + 2W(18-16) =
=  6W2 + 2W2 = 8W2;

Damit ist der gesamte Ausdruck (Zähler durch Nenner) gleich
(-8)²/(8W2) = 64/(8W2) = 8/W2 = 8W2/2 = 4W2

              

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DepravedGirl 08.10.2017, 09:10
@HEWKLDOe

Recht herzlichen Dank für deine Mühen ! Ich habe es jetzt vollständig verstanden.

Die Antwort von gfntom ist exzellent, aber wegen dem immensen Zeitaufwand, den deine Antwort für dich bedeutet hat, werde ich dir die Auszeichnung zur hilfreichsten Antwort geben, wenn die 24-Stunden-Frist vorbei ist.

Leider kann man nur einer einzigen Person die Auszeichnung pro gestellter Frage geben, ihr hättet beide eine Auszeichnung für eure guten Antworten verdient ;-))

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HEWKLDOe 08.10.2017, 13:31
@DepravedGirl

Herzlichen Dank für das nur teilweise verdiente Lob.

Als erstes muss ich noch einen Fehler in meinem letzten Kommentar korrigieren: Es muss natürlich ""oben", also im Zähler" heißen, und später ""unten", also im Nenner 1. Der Nenner ist also " Da hat sich wohl schon die späte Nachtstunde bemerkbar gemacht.

Zum zweiten habe ich bei meiner vorgeschlagenen Methode zwar das Ausmultiplizieren "oben" durch die 3. Binomusche Formel vereinfacht, dafür aber das Ausmultiplizieren "unten" doch nur auf die 1. Binomische Formel statt der 2. Binomischen Formel zurückgeführt, also in Summe keine Vereinfachung bewirkt.

Trotzdem hat mir das Herumjonglieren mit den Binomischen Formeln aufgrund der unterschiedlichen Vorzeichen unter den Wurzeln Spaß gemacht gemäß meinem - durch meine frühere Tätigkeit als Entwicklungsingenieur beeinflussten - Leitspruch: Die Mathematik ist eine experimentelle Wissenschaft.

Es grüßt HEWKLDOe.

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