Gesamtfehle (Stochastik)?

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2 Antworten

EDIT: sorry, ich habe die Frage falsch verstanden. Ich dachte, es handelt sich hier um den numerischen Fehler. Siehe Antwort von [Wechselfreund] e = 1–(1–a)(1–b).

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Bezeichne mit ℙ[A] bzw. ℙ[A]ᵉ bzw. ε(ℙ[A]) die echte bzw. approximierte W-keit von A bzw. den Fehler; und ähnliches für B.

Es gilt ℙ[A & B] = ℙ[A] · ℙ[B] und ähnlich berechnet man die Approximation ℙ[A & B]ᵉ := ℙ[A]ᵉ · ℙ[B]ᵉ.

Darum ist der Fehler in ℙ[A&B] gegeben durch:

ε(ℙ[A&B]) = ℙ[A&B] – ℙ[A&B]ᵉ
= ℙ[A]·ℙ[B] – ℙ[A]ᵉ·ℙ[B]ᵉ
= (ℙ[A]ᵉ+ε(ℙ[A]))·(ℙ[B]ᵉ+ε(ℙ[B]))
– ℙ[A]ᵉ·ℙ[B]ᵉ
= ℙ[A]ᵉ·ε(ℙ[B]) + ℙ[B]ᵉ·ε(ℙ[A])
+ ε(ℙ[A])·ε(ℙ[B])
= ℙ[A]ᵉ·b + ℙ[B]ᵉ·a + a·b

Falls a und b << ℙ[A]ᵉ und ℙ[B]ᵉ (das heißt „beträchtlich kleiner als“ / tendenziell im Verhältnis verschwindend), so gilt:

ε(ℙ[A&B]) ≈  ℙ[A]ᵉ·b + ℙ[B]ᵉ·a

da für Produkt gilt a·b << ℙ[B]ᵉ·a und ℙ[A]ᵉ·b.

Hier habe ich exakt, dann mittel Schätzungen argumentiert. Allerdings kann man unmittelbar diese Schätzung liefern, dadurch, dass mit einer Taylor-Expansion arbeitet.

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Gegenereignis: 1 -  p( kein Fehler)

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