Gerader elastischer Stoß: Zeigen Sie, dass m2 > m1 sein muss, damit m1 nach dem Stoß seine Flugrichtung umdreht?

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2 Antworten

Ich glaube die Aufgabe ist so zu verstehen, dass m2 vor dem Stoß in Ruhe ist. Falls nicht, meld dich ruhig nochmal.
Vergiss erst mal den Stuss, den dir deine Lehrer bei gebracht haben. Für den elastischen Stoß zu berechnen, brauchst du keine Erhaltungssätze; komm lass mal Pappi ran. Mir Frankfotter kenne da en gei le Witz, wer du bis und was dein Lehrer für aanen is. Waaste schon emaa in ===> Dribbdebach geweese? In Sachsehause? Uffn Affetorplatz?
Sitzt e klaa Äffsche in Urwald uff die Palm. Unn rings konzentrisch kimmt e Riese Feuerwalz uff des Äffsche auf zu. Wie soll sisch des Äffsche in Sischerheit pringe?
Antwott: Ei woher soll's dann des klaa Äfsche wisse, wann's de große Aff net weiß?
Du beginnst erst mal damit, dass du die Schwerpunktsgeschwindigkeit V berechnest. Der Schwerpunkt vereinigt in sich Gesamtmasse

    M := m1 + m2                             ( 1a )

so wie Gesamtimpuls

     P = m1 v1                              ( 1b )

weil wir ja gesetzt hatten v2 = 0 .

      P = m1 v1 = M V = ( m1 + m2 ) V               ( 1c )

     V = m1 v1 / ( m1 + m2 )          ( 1d )

Und jetzt werde ich ganz genial. Kennst du die Definition der ===> reduzierten Masse?

      µ := m1 m2 / ( m1 + m2 )                 ( 2a )

      V = ( µ / m2 ) v1          ( 2b )

   Eine Entdeckung von mir, die quasi 400 Jahre zu spät kommt.
" Schlagfertig wäre ich gewesen, wenn mir das schon vor 400 Jahren aufgefallen wäre . . . "
In allen Physikbüchern steht, dieses µ sei eine tootaal unanschauliche Größe. Mein Chef hätte wohl in seiner zynischen Art gefragt

" Kann MAN sich nichts darunter vorstellen; oder können bloß Sie es nicht? "

Du weißt ( hoffentlich ) dass der Schwerpunkt die Verbindungslinie der beiden Massenpunkte ( von Innen ) im umgekehrten Verhältnis der beiden Massen teilt.
Genau jener Zusatz: " von Innen " - der fehlt konstant überall.
Sonst wäre nämlich mal jemand her gegangen und hätte gefragt

" Und von Außen? "

( De Frankfotter sescht; mer fasst sisch an de Kopp. )
Insbesondere wenn du die klassische Definition von µ zu Grunde legst

      1 / µ := 1 / m1 + 1 / m2                 ( 2c )

  siehst du unmittelbar ein

 " Von Außen teilt der Schwerpunkt die Verbindungslinie ( m1 m2 ) im Verhältnis ( µ / m1 ) : ( µ / m2 ) "

Damit muss aber µ stets kleiner bleiben als das Minimum von m1 und m2 ; stets bleibt das Verhältnis µ / m2 < 1 ===> harmonisches Mittel.
Die anschauliche Deutung hinter ( 2b ) ist nämlich genau die: Da m2 als ruhend voraus gesetzt wurde, ist das Verhältnis von V zu v1 genau das ÄUSSERE Verhältnis, in welchem der Schwerpunkt die Verbindungsstrecke m1 m2 teilt.
Gescheite Lehrbücher und Skripten gibt es viele, wo der elastische Stoß abgehandelt ist. Schlauer zu sein als dein Lehrer, ist wahrlich keine Kunst; schon seit Kl. 12 vertiefe ich mich philosophisch in dieses Problem - und habe wieder mal die Nase vorne. Selbst der Zeitschrift " Physik in unserer Zeit blieb der entscheidende Durchbruch verwehrt.
Wir sind nämlich schon fertig . . .
Allgemein seien v1;2 die Geschwindigkeiten vor dem Stoß und u1;2 nach dem Bu mms . Alles was jetzt noch zu tun bleibt, ist quasi das Ei des Gilgamesch; folgende Mittelwertbeziehung

    V = 1/2 ( v1;2 + u1;2 )              ( 3a )

" Die Schwerpunktsgeschwindigkeit ist nichts weiter als der aritmetische Mittelwert aus Vorher und Nachher. "

Für Zahlenrechnungen erweist sich eine andere Faustregel als viel griffiger, die aber äquivalent zu ( 3a ) ist:

 " Die SCHNELLE ( stoßende ) Masse ist nach dem Stoß um genau so viel LANGSAMER als der Schwerpunkt, wie sie vorher SCHNELLER war. "

  " Die LANGSAME ( gestoßene ) Masse ist nach dem Stoß um genau so viel SCHNELLER als der Schwerpunkt, wie sie vorher LANGSAMER war. "

    Wie kann das sein? Stellen wir uns auf den Standpunkt eines Physikers im Schwerpunkt ( V = 0 ) Dann fordert also ( 3a ) schlicht und ergreifend für beide Massen die Richtungsumkehr; für den Beobachter im Schweriunkt sind damit aber Energie-und Impulserhaltung trivial gegeben.
Bloß wenn du ( 3a ) zugibst für den Schwerpunkt, dann folgt es automatisch auch für alle anderen ===> Inertialsysteme ; der Schwerpunkt ===> separiert ab, und wir haben ===> Superposition.
Ach übrigens; auch ich kann Deutsch, nicht nur ihr mit eurem ewigen " Hochpunkt " statt Maximum. Es heißt nicht Inertial-sondern Träheitssystem ( TS )
Nur eben. Wenn du der Art salopp vorgehst, musst du dafür gerade stehen, dass Energieerhaltung für alle TS gewährleistet ist - schließlich wurde das nicht eigens gefordert. Ist dir das klar? Wir werden somit zu einer tief liegenden philosophischen Fragestellung geführt, für welche du allerdings eine neue Frage formulieren müsstest, weil sie, wie schon gesagt, mit der Lösung unserer Aufgabe nicht das Geringste zu schaffen hat.
Aus ( 2b;3a ) ergibt sich die Lösung unseres Problems

     1/2 ( v1 + u1 ) = V = ( µ / m2 ) v1         ( 3b )

      u1 = ( 2 µ / m2 - 1 ) v1                  ( 3c )

Der Grenzfall u1 = 0 wird offenbar dann erreicht, wenn die Klammer verschwindet ===> µ / m2 = 1/2 . Jetzt könntest du mit ( 2a ) rückrechnen, was das konkret bedeutet - okay; du bist noch jung und unternehmungslustig und willst deine eigenen Erfahrungen sammeln. Aber besinnen wir uns auf die Aussage, dass µ etwas aussagt über die Teilung der Verbindungslinie. ( µ / m2 = 1/2 ) besagt doch, dass der Schwerpunkt genau in der Mitte liegt, mithin m1 = m2. Negativ wird ( 3c ) , wenn

     µ / m2 < 1/2                         ( 3d )

Damit läge der Schwerpunkt aber näher bei m2 als bei m1 ; hast du das verstanden? Das ist aber nur dann der Fall, wenn m1 < m2 , wzbw .
Ich habe noch zwei Ergänzungen; die erste ist eine Hausaufgabe. Setze m1 = m2 =: m ; Anfangsgeschwindigkeiten v1;2 beliebig. Du weißt, wie du vorzugehen hast; ermittle zunächst die Schwerpunktsgeschwindigkeit V . Dann berechnest du u1;2 aus ( 3a ) Wenn du keinen Fehler machst, kommt raus

        u1 = v2 ; u2 = v1                             ( 4 )

Die Geschwindigkeiten werden schlicht und ergreifend ausgetauscht. Dies ist trivial in Übereinstimmung mit Energie-und Impulserhaltung für alle TS . Vergleiche mit unserem Sonderfall v2 = 0 .
Und jetzt die zweite Ergänzung. Ich zitiere einen Beitrag aus der Zeitschrift " Physik in unserer Zeit " mit der Überschrift " ein physikalisches Spielzeug " Das Dingsbums findest du z.B. aufgebaut im ===> deutschen Museum / München.
100 Kugelpendel ( Stahlkugeln der Masse m ) sind in einer Reihe aufgehängt; das erste werde um die Amplitude A ausgelenkt. Was passiert?
So bald es zum Stoß kommt, kommt Kugel 1 zur Ruhe, und augenblicklich fliegt Kugel Nr. 100 weg. Sie erklimmt - wie könnter es anders sein - Amplitude A . Danach kehrt sich das Spielchen periodisch um; Kugel Nr. 100 stößt Kugel 1 an usw. usf.
Eine typisch listige physikalische Fragestellung; Kugel Nr. 50 werde ersetzt durch eine Stahlkugel der Masse 2 m . WAS PASSIERT?
Das Problem: Die Erhaltungssätze reichen nicht mehr hin, eine eindeutige Lösung vorher zu sagen. Der matematische Berater stellt einige Lösungen vor, die er für besonders Harmonisch hält. Um es mit Wilhelm Busch zu sagen:
" Aber hier wie überhaupt
Kommt es anders, als man glaubt. "
Computersimulationen der Forschergruppe enthüllen nämlich, dass alles STRENG KAUSAL zu geht; in dem Apparillo kommen nur Zweikörperstöße vor.
Nimm z.B. den Fall, dass alle Massen gleich sind. Kugel 1 gibt ihren Impuls an Kugel 2 weiter, diese an 3 usw. Mitnichten gibt es eine spontane Übertragung von 1 nach 100 .
Dass dies so ist, kam nämlich heraus, wenn Kugel 50 auf einmal doppelt so schwer ist. Wie du ja weißt, prallt jetzt Kugel 49 ab . Es ist ein Wettlauf um µ sec und hängt davon ab, um welchen Abstand die Aufhängepunkte der Pendel auseinander liegen. Wer ist schneller? Arbeitet sich der Rückimpuls von 49 bis 1 vor, wo er reflektiert wird? Oder geht der Impuls von 50 bis 100 und zurück; welche Geschwindigkeiten haben 49 und 50 , wenn sie das zweite Mal zusammen treffen?

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Der Ansatz ist gut. Stelle den Energie- sowie den Impulserhaltungssatz auf, setze sie ineinander ein und löse nach v'1 auf.

Das findest du hier:
http://www.leifiphysik.de/themenbereiche/erhaltungssatze-und-stosze

und nach unten zu "Zentraler elastischer Stoß" blättern (spart mir Schreibarbeit).

Es gilt: u = v'

v'1 = (m1 * v1 + m2 * (2v2 - v1)) / (m1 + m2)

Anfangsbedingung:
- eine Umkehr der Richtung bedeutet, v'1 wird negativ. Es gilt also:
 (m1 * v1 + m2 * (2v2 - v1)) / (m1 + m2) < 0

multiplizieren mit m1 + m2:
m1 * v1 + m2 * (2v2 - v1) < 0

ausmultipliziert:
m1 * v1 + m2 * 2v2 -m2 * v1 < 0

zusammengefasst:
v1(m1 - m2) + 2 * m2 * v2 < 0

Ich gehe davon aus, dass die zweite Kugel vorher in Ruhe war, v2 = 0 ist:
v1(m1 - m2 ) < 0

mit v1 dividieren:
m1 - m2 <0

m2 addieren:
m1 < m2

qed (qod erat demonstrandum = was zu zeigen war)

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