Geraden und Ebenen?
Hallo,
wie gehe ich bei Aufgabe 9 a und b vor?
2 Antworten
Man berechnet das Kreuzprodukt der beiden Richtungsvektoren der Ebene:
(1,1,0) x (1,2,c) = (c,-c,1)
(c,-c,1) ist der Normalenvektor der Ebene, und die Ebenengleichung hat damit die Form:
c*x - c*y + z = d
Um noch d zu bestimmen, setzt man den Punkt (2,2,2) in die Ebenengleichung ein
c*2 - c*2 + 2 = d
Daraus folgt d = 2. Die Ebenengleichung lautet damit:
c*x -c*y + z = 2
Damit die Gerade parallel verläuft, muss der Richtungsvektor der Geraden auf dem Normalenvektor der Ebene senkrecht stehen, d.h. das Skalarprodukt der beiden ist Null:
(c,-c,1) * (1,b,1) = 0
Daraus folgt die Bedingung:
c - c*b + 1 = 0
Die parallele Gerade liegt nur dann in der Ebene E, wenn der Startpunkt (a,2,-1) in der Ebene liegt. (a,2,-1) in die Ebene einsetzen:
c*a - c*2 - 1 = 2
c*a - c*2 = 3
Daraus folgt die Bedingung für Aufgabe b):
a = 3/c + 2
Das folgende Vorgehen ist nicht allgemein anwendbar, aber vermutlich am einfachsten.
Zunächst soll g ja in beiden Fällen parallel im weiteren Sinne zu E sein (parallel im weiteren Sinne heißt "liegt in" zählt hier auch).
Gleichungen sind (fast) immer einfacher als Ungleichungen, deshalb würde ich mit Teil b) anfangen.
Wenn g in E liegt, ist jeder Punkt von g auch ein Punkt von E, d. h.
für jedes t gibt es ein r und ein s (jeweils aus den reellen Zahlen), sodass
(a, 2, -1)^T + t * (1, b, 1)^T = (2, 2, 2)^T + r * (1, 1, 0)^T + s * (1, 2, c)^T
(^T steht hier für Transposition, d. h. Vertauschung von Zeilen und Spalten)
Das führt zu dem Gleichungssystem
a + t = 2 + r + s
2 + b t = 2 + r + 2 c
-1 + t = 2 + c s
Zunächst kann man das nach r und s auflösen - r und s hängen ja von t ab, wir brauchen hier also nicht zu berücksichtigen, dass bestimmte Terme verschwinden müssen.
Dann können wir nach a, b und/oder c auflösen - hier ist das Gleichungssystem unterbestimmt. Die fehlenden Größen bekommen wir aber daher, dass a, b und c von t unabhängig sein müssen, d. h. der Vorfaktor von t muss 0 sein.
Zur Kontrolle: Wenn ich mich nicht verrechnet habe, ergibt das:
a = 1
b = 2/3
c = -3
r = -2 + 4/3 t
s = 1 - 1/3 t
Bei Teil a) soll die Gerade immer noch parallel zu E verlaufen, d. h. an der Beziehung zwischen den Richtungsvektoren ändert sich nichts.
Glücklicherweise kommt die gesuchte Größe a in keinem der Richtungsvektoren vor. Damit bleiben die Gleichungen für r, s, b und c unverändert.
Lediglich a kann sich noch ändern. Da a im "Aufpunktvektor" auftritt (und nirgendwo sonst), ist offensichtlich, dass für alle a ungleich dem Wert von oben die Gerade echt parallel zu E verläuft. (Man kann das auch nachrechnen, indem man zeigt, dass das Gleichungssystem für "Punkt auf der Geraden liegt auch in der Ebene" für kein t lösbar ist.)