Gelten Definitionslücken und Polstellen (ohne Vorzeichenwechsel) auch als "Unstetigkeit von Funktionen"?

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3 Antworten

der Begriff Stetigkeit ist nur auf dem Definitionsbereich einer Funktion definiert (die Funktion muss in einer Umgebung von x₀ beliebig nahe bei f(x₀) liegen). Ist f(x₀) nicht definiert, so ist auch die Frage nach der Stetigkeit sinnlos. Ich kenne auch keine andere Definition von Stetigkeit, die ohne f(x₀) auskommt.

Unstetigkeit heisst "nicht stetig": Es gibt einen Schlauch um f(x₀), der nicht eine ganze Umgebung von x₀ abdeckt. Auch dieser Begriff steht und fällt mit der Definiertheit von f(x₀).

Insbesondere ist zum Beispiel jede Funktion f: ℕ → ℝ stetig.

Würde man hier argumentieren, dass f bei x₀=½ unstetig sei, dann könnte man das genauso für jede reelle Funktion mit x₀=√-1 machen; oder jede komplexe Funktion mit x₀=∅, usw. Man kann immer ein Objekt (er)finden, für das die Funktion nicht definiert ist. Damit wären also alle Funktionen unstetig, was den Sinn einer solchen Definition ziemlich in Frage stellt.

Vergleiche:

  • Ist 1/0 positiv? Natürlich nicht, es ist ja nicht definiert.
  • Also ist 1/0 negativ? Ähm nein, es ist einfach weder-noch, weil 1/0 undefiniert ist.
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Kommentar von Rowal
12.11.2016, 17:43

Zweifellos richtig. Man kann das auch völlig losgelöst von Zahlen usw. erklären: Sei M die Menge aller Elefanten in meiner Aktenmappe. Dann ist M die leere Menge wie leicht einsichtig. Jetzt behaupte ich: Alle Elefanten in meiner Aktenmappe sind unrosa.

Beweis: Sei M1 die Menge aller Elefanten in meiner Aktenmappe, die unrosa sind. Dann ist M1 eine Untermenge von M. Da die einzige Untermenge der leeren Menge ebenfalls die leere Menge ist, folgt

M = M1

oder in Worten: Die Menge aller Elefanten in meiner Aktenmappe ist gleich der Menge aller Elefanten in meiner Aktenmappe, die unrosa sind.Also ist jeder Elefant in meiner Aktenmappe unrosa. Analog folgt natürlich: Jeder Elefant in meiner Aktenmappen ist rosa.

Insofern sind die beiden Antworten von "Willigergi" und "BiggerMama" zwar nicht direkt falsch, aber doch sehr irreführend.

Bei der Antwort muss man also gar nicht wissen, was Unstetigkeit und Polstellen sind, ja man muss noch nicht einmal wissen, ob es so etwas überhaupt gibt. Mam muss lediglich wissen, dass die Menge der Objekte ausserhalb des Definitionsbereiches der Funktion, an denen die Funktion definiert ist, die leere Menge ist. Und das ist per definitionem der Fall.

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Selbstverständlich.

Wenn eine Funktion an einer Stelle x nicht definiert ist, ist sie nicht stetig.

Und das ist bei Definitionslücken und Polstellen der Fall.

LG Willibergi

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ja, jede "Lücke"!

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