Gegeben ist die Gerade f(x)=2x+3. Bestimmen Sie die Gleichung der Geraden g, die durch den Punkt P(1|3) geht und zur Geraden f... Wie geht das?

4 Antworten

Wichtig ist folgendes:

"Zwei Geraden stehen orthogonal aufeinander, wenn das Produkt der Steigungen -1 ergibt."

Du weißt folgendes:

f(x) = 2x + 3

g(x) = mx + t, orthogonal zu f, P(1 | 3)

Das Produkt der Steigungen muss -1 ergeben:

2 * m = -1 ⇔ m = -1/2

⇒ g(x) = -1/2 * x + t

Setzte nun den Punkt P(1 | 3) der Form P(x | g(x)) in die Gleichung ein:

3 = -1/2 * 1 + t ⇔ t = 3,5

Daraus folgt: g(x) = -1/2 * x + 3,5

Also:

f(x) = 2x + 3

g(x) = -0,5x + 3,5

Damit hast du die beiden Geradengleichungen bestimmt. ;)

Ich hoffe, ich konnte dir helfen; wenn du noch Fragen hast, kommentiere einfach. 

LG Willibergi 

Das bedeutet, du hast eine zweite Gerade mit derselben Steigung, die durch den gegebenen Punkt geht. Senkrecht auf dieser steht in dem Punkt eine Verbindung hinüber zur anderen Geraden. Diese hat auch eine Gleichung.

Die Eigenschaft, senkrecht zu stehen, wird durch die Steigung -1/m gewonnen. Da deine Steigung 2 ist, wäre die Steigung einer Senkrechten:

-1/2

Kommst du schon weiter? Sonst frag nochmal.

1. Schritt: Parallele zu f(x):
f(x) = 2x  + 3
g(x) muss dieselbe Steigung haben.

g(x) = 2x + b          b weiß ich noch nicht, aber ich habe ja einen
                              Punkt dieser Geraden P(x=1|y=3)
                       y ist gezeichnet g(x). Daher  
3     = 2 * 1 + b
    b  = 3 - 2
    b  = 1

Damit habe ich die parallele Gerade durch P:
g(x) = 2x + 1

Du erinnerst dich: die Senkrechte muss jetzt sein
h(x) = -1/2 x + c

Und durch P geht sie auch.

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@Volens

2. Schritt: Orthogonale
Es geht genauso.
h(x) = -1/2 x + c       und P(1|3)
   3  = -1/2 * 1 + c
3 +1/2 = c
      c  =  7/2  

Daher h(x) = -1/2  x + 7/2    oder anders geschrieben
           h(x) = -0,5x + 3,5

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@Volens

3. Schritt: Schnittpunkt der Orthogonalen mit f(x)
Das interessiert ja eigentlich auch.
Der Schnittpunkt ist h(x) und f(x) gemeinsam. Es stimmen also x und y überein. Wichtig ist erst einmal y, denn wir haben zwei Darstellungen von y gegeben:
f(x):  y = 2x + 3
h(x): y = -0,5x + 3,5

Die müssen nun gleich sein, also gilt auch:
2x + 3 = -0,5x + 3,5    | +0,5x-3       x nach links, Zahlen nach rechts
2,5x    = 0,5                 | /2,5
     x    = 0,2

Da y = y, reicht es, eins der beiden auszurechnen. Ich nehme f(x):
y = 2 * 0,2 + 3
y = 3,4

Damit ist S(0,2 | 3,4)

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Gerade Nummer 1 :

y = f(x) = m _ 1 * x + b _ 1

Gerade Nummer 2 :

y = g(x) = m _ 2 * x + b _ 2

Orthogonalität :

m _ 1 * m _ 2 = -1

------------------------------------------------------------------------------------------------------------

m _ 1 = 2

m _ 1 * m _ 2 = -1

2 * m _ 2 = -1 | : 2

m _ 2 = - 1 / 2

3 = m _ 2 * 1 + b _ 2

3 = (- 1 / 2) * 1 + b _ 2

b _ 2 = 3 + 1 / 2

y = g(x) = - (1 / 2) * x + (3 + 1 / 2)

Die letzte Gleichung ist die Antwort?

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@looolig1013

y = g(x) = - (1 / 2) * x + (3 + 1 / 2) ist das was gesucht ist.

y =g(x) steht orthogonal zu y = f(x) und geht durch den Punkt (1 | 3)

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