Gebrochenrationale Funktion, Aufgabe

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1 Antwort

f(x)   = x³ / 3*(x - 1) - 2
f'(x)  = [3x² * 3(x - 1) - 3x³] / 9(x² - 2x + 1)
       = (6x³ - 9x²) / 9*(x - 1)²
       = 6x² * (x - 1,5) / 9*(x - 1)²
       = 1/3 * (x² * (2x - 3)) / (x - 1)²
f''(x) = 1/3 * [(x-1)(6x² - 6x) - (2(x-1)(2x³ - 3x²))] / (x-1)^4
       = 1/3 * [(6x*(x-1)² - 4x³ + 6x²) / (x - 1)³]
       = 1/3 * (6x³ - 12x²+ 6x - 4x³ + 6x²) / (x - 1)³
       = 1/3 * (2x³ - 6x² + 6x) / (x - 1)³
       = 2x*(x² - 3x + 3) / 3*(x - 1)³

f'(x) hat eine doppelte Nullstelle bei x = 0 und eine einfache Nullstelle bei x = 1,5. An diesen Punkten liegen waagerechte Tangenten vor, denn die Tangente ist die Steigung. Eine waagerechte Tangente hat die Steigung 0.

Bestimmung der Y-Koordinaten:

f(0)   = (0³ / -3) - 2    = -2
f(1,5) = (1,5³ / 1,5) - 2 =  ¼

Waagerechte Tangenten bei P1(0 | -2) und P2(1,5 | ¼).

b)

f'(2) = 24 * (½ / 9) = 24/18 = 4/3

c)

Änderung der Krümmung bedeutet, die Funktion hat dort einen Wendepunkt, geht also von einer Links- in eine Rechtskurve über oder umgekehrt. Wendepunkte sind der Fall bei f''(x) = 0.

0 = 2x*(x² - 3x + 3) / 3*(x - 1)³
Einsetzen in die PQ-Formel:
x1,2 = 1,5 +- sqrt(2,25 - 3)
Klappt nicht, daher nur x = 0.

Den f(0) haben wir bereits, dort ist ein Extremwert bei WP(0 | -2).

Ich behalte mir Fehler vor.

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