Gauß-Algorithmus ohne Lösung?

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3 Antworten

Ich vermute mal, dass sich das "sehen die meisten immer auf den ersten Blick, wenn es keine Lösung gibt" auf die Form bezieht, nachdem Ihr das Gaußverfahren auf das Gleichungssystem bereits angewandt habt und nicht auf das Original LGS.

Also: Du vereinfachst das LGS nach Gauß (oder einem anderen Verfahren) und bekommst zum Schluss (höchstwahrscheinlich) auf eine Gleichung, bei der Dein Parameter a im Nenner eines Bruches steht, z.B. (frei ausgedacht!)
(0 0 2/(a-3) | 5) bzw. 2/(a-3) · x3 = 5.

Eine solche Gleichung kann natürlich nur dann eine Lösung besitzen, wenn a-3≠0, denn ansonsten stände im Nenner des Bruches null, und durch null kann man nicht dividieren.

Also hat das LGS für a = 3 garantiert keine Lösung.

Es gibt mehrere Möglichkeiten. Wenn Du ein LGS auf die Stufenform gebracht hast, so lässt sich das einfach ablesen. Wenn Du z.B bei einem 3x3 LGS so etwas zu stehen hast:

( 0 0 0 l 0 )

Dann gibt es mit Sicherheit keine Lösung.

Wenn dasteht:

( 0 0 0 l 3 )

Dann gibt es nur eine Lösung wenn x3=t (usw.) entspricht.

Wenn ein LGS die Form hat:

( 0 0 1 l 3 )

Dann gibt es mit Sicherheit eine Lösung.

Dies erkennt man außerdem ganz gut da ran:

Wenn Rg(A)=Rg(A/s)=n; somit eindeutige Lösung.

Wenn Rg(A)=Rg(A/s)<n

Lösung mit xn=t

Wenn Rg(A)<n=Rg(A/s)

So existiert keine Lösung.

n stellt die gesuchten Variablen da. Rg(A) die Zeilen mit mindestens einer Zahl außer 0, natürlich für A. Rg(A/s) gilt dann für die rechte Seite.                                                      

Dazu natürlich noch wie man erkennt wie die Lösungsmenge ist, wenn man sich nur das LGS betrachtet. Es gibt entweder unendlich viele Lösungen, keine Lösung oder bestimmte Lösungen.

Wir zeigen ein 2x2 LGS allgemein einfach so dar:

A=C

B=D

Unendlich viele Lösungen gibt es, wenn A=B und C=D entspricht. Dies geht aber auch wenn z.B (A=B/2)=(C=D) funktioniert.
Somit L={Q} (jede rationale Zahl)

Keine Lösung ist vorhanden, wenn sich die Zeilen widersprechen, also A=B, aber C ungleich D. Dann ist L={ }

Eine eindeutige Lösung ist vorhanden, wenn diese beiden anderen Fälle nicht auftreten.

Das gilt auch für jede nxn Matrix.

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Ich glaube du bist mit deinen Beispiel Zeilen aus der ZSF etwas verrutscht.

(0 0 0 | 0) mehrere Lösungen: 0*x_1 + 0*x_2 + 0*x_3=0 für alle x

(0 0 0 | 3) keine Lösung: 0*x_1 + 0*x_2 + 0*x_3 ≠ 3 für alle x

(0 0 1 | 3) eindeutige Lösung 1*x_3 = 3

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@varlog

Inwiefern soll bei:

( 0 0 0 l 0 ) mehrere Lösungen herauskommen? 0x3=0 geht nicht. Somit lässt sich das nur lösen wenn x3 einer Variable zugeordnet wird? Die Lösungen haben dann allerdings z.B die Form: x1=3-t.

Ich nehme sonst an Du meinst meine falsche Formulierung: "...gibt es nur eine Lösung..."?

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@AnonyJS

Seit wann ist denn 0·x3 ≠ 0 ???

Wenn man irgendeine beliebige Zahl mit 0 multipliziert, kommt immer 0 heraus. Also gibt es für die Gleichung 0·x3 = 0 auch unendlich viele Lösungen (für x3).

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@AnonyJS

KDWalther hat es ja eigentlich schon gesagt. Aber irgendwie widersprichst du dir auch selbst. Oben sagst du:

 Wenn Du z.B bei einem 3x3 LGS so etwas zu stehen hast:( 0 0 0 | 0 )
 Dann gibt es mit Sicherheit keine Lösung.

Also du behauptest das LGS wäre nicht lösbar. Also gar keine Lösung.

In deinem Kommentar behauptest du dann, dass man x_3 eine Variable zuordnen müsste um es zu lösen. Ja, kann man machen. Und diese Variable kann beliebige Werte annehmen. D.h. x_3 ist beliebig, somit gibt es mehrere Lösungen und das ist gerade meine Behauptung.

Wäre es denkbar, dass dir der Unterschied zwischen "nicht lösbar" und "nicht eindeutig lösbar" nicht ganz klar ist?

Achso und zu:

0x3=0 geht nicht

Warum nicht?

Vielleicht noch ein praktisches Beispiel:

Person A kauft sich 3 Kekse und einen Kaffee und zahlt dafür 3€

Person B kauf sich keinen Kaffee und keine Kekse und zahlt 0€

Frage: Wieviel kostet ein Keks und ein Kaffee?

Antwort: Darüber kann man keine Aussage machen.

Person B wäre ja gerade die Nullzeile im LGS. Daher gibt es mehrere Lösungen (bzw. in diesem Fall unendlich viele).

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@KDWalther

Haha, ich war anscheinend noch zu müde. Tut mir leid für diese Fehler.

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-2  -5  a  | -5
 4   3  -1 | -7
-1  9   -2 | 25

Nimmt man jetzt 1/3 mal die Zweite Zeile und zieht  2/3 mal die dritte Zeile ab und zieht das Ergebnis von der ersten Zeile ab, erhält man

0  0  a+1 | 19

Daran sieht man, dass für a = -1 keine Lösung existiert. In diesem Falle braucht man also 2 Blicke bzw. einen scharfen Blick.

Korrektur: Ich habe hier einen Fehler in der 3. Spalte gemacht: -1 * 1/3 -(-2 * 2/3) = 1. Dieser Wert wird von a abgezogen, also steht da a - 1 . Folglich

0   0    a-1  |  19

in der 1. Zeile. Es gibt also für a=1 keine Lösung.

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